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| Aufgabe | [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}
[/mm]
Gib [mm] x_0 [/mm] und [mm] c_n [/mm] an und berechne den Konvergenzradius. |
Ich setze jetzt 2k=n
[mm] x_0=0
[/mm]
[mm] c_n= \bruch{(-1)^{\bruch{n}{2}}}{n!} [/mm] n gerade
Ich weiß, [mm] c_n [/mm] ist 0 für n ungerade aber ich versteh nicht wieso. Bin schon bei mehreren Beispielen darauf gestoßen. Kann mir das bitte jemand erklären? Glg
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Hallo steffi.24,
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}[/mm]
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> Gib [mm]x_0[/mm] und [mm]c_n[/mm] an und berechne den Konvergenzradius.
> Ich setze jetzt 2k=n
> [mm]x_0=0[/mm]
> [mm]c_n= \bruch{(-1)^{\bruch{n}{2}}}{n!}[/mm] n gerade
> Ich weiß, [mm]c_n[/mm] ist 0 für n ungerade aber ich versteh
> nicht wieso. Bin schon bei mehreren Beispielen darauf
> gestoßen. Kann mir das bitte jemand erklären? Glg
Das wird dir am besten selbst klar, wenn du mal die ersten 4 bis 5 Summanden der Reihe aufschreibst:
[mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}=1\cdot}x^0-\frac{1}{2!}\cdot{}x^2+\frac{1}{4!}\cdot{}x^4-\frac{1}{6!}\cdot{}x^6\pm...[/mm]
Du siehst, dass nur Summanden, die einen Faktor von x mit gerader Potenz enthalten, auftreten.
Anders gesagt, die "ungeraden" Summanden sind allesamt 0
Nun setze mal wie beschrieben [mm]2k=n[/mm] und schreibe dir die Summanden, die ich dir aufgeschrieben habe, mal in n hin ...
Erkennst du das Schema der [mm]c_n[/mm] damit wieder?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 So 29.01.2012 | | Autor: | steffi.24 |
Danke. Hab mir das jetzt durchgedacht und habs verstanden 
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