Permutation, Zyklen, signum < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Sa 09.02.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei [mm] \pi \in S_n. [/mm] Sei [mm] z(\pi) [/mm] die Anzahl der Zyklen in der disjunkten Zyklendarstellung von [mm] \pi. [/mm] Dann gilt sgn [mm] \pi [/mm] = [mm] (-1)^{n-z(\pi)}
[/mm]
wobei bekannt ist das Signum ein Homomorphismus ist und für einen [mm] Zyklus(a_1,a_2,..,a_m) [/mm] der Länge m gilt [mm] sgn((a_1,a_2,..,a_m)=(-1)^{m-1} [/mm] gilt |
Im Skript steht:
Betrachten wir die eindeutige Zerlegung von [mm] \pi [/mm] in k = [mm] z(\pi) [/mm] disjunkte Zyklen [mm] z_i [/mm] der länge [mm] l(z_i)
[/mm]
[mm] \pi= z_1 z_2 *..*z_k
[/mm]
[mm] \sum_{i=1}^k l(z_i) [/mm] = n
[mm] sgn(\pi) [/mm] ) = [mm] (-1)^{l(z_1)-1)} (-1)^{l(z_2)-1)} ..(-1)^{l(z_k)-1)} [/mm] = [mm] (-1)^{n-z(\pi))} [/mm]
Hallo,
Wie kommt man auf: [mm] sgn(\pi) [/mm] ) = [mm] (-1)^{l(z_1)-1)} (-1)^{l(z_2)-1)} ..(-1)^{l(z_k)-1)} [/mm] = [mm] (-1)^{n-z(\pi))} [/mm]
Das verstehe ich nicht!!
LG
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Hallo,
> Sei [mm]\pi \in S_n.[/mm] Sei [mm]z(\pi)[/mm] die Anzahl der Zyklen in der
> disjunkten Zyklendarstellung von [mm]\pi.[/mm] Dann gilt sgn [mm]\pi[/mm] =
> [mm](-1)^{n-z(\pi)}[/mm]
>
> wobei bekannt ist das Signum ein Homomorphismus ist und
> für einen [mm]Zyklus(a_1,a_2,..,a_m)[/mm] der Länge m gilt
> [mm]sgn((a_1,a_2,..,a_m)=(-1)^{m-1}[/mm] gilt
> Im Skript steht:
> Betrachten wir die eindeutige Zerlegung von [mm]\pi[/mm] in k =
> [mm]z(\pi)[/mm] disjunkte Zyklen [mm]z_i[/mm] der länge [mm]l(z_i)[/mm]
> [mm]\pi= z_1 z_2 *..*z_k[/mm]
>
> [mm]\sum_{i=1}^k l(z_i)[/mm] = n
> [mm]sgn(\pi)[/mm] ) = [mm](-1)^{l(z_1)-1)} (-1)^{l(z_2)-1)} ..(-1)^{l(z_k)-1)}[/mm]
> = [mm](-1)^{n-z(\pi))}[/mm]
>
> Hallo,
> Wie kommt man auf: [mm]sgn(\pi)[/mm] ) = [mm](-1)^{l(z_1)-1)} (-1)^{l(z_2)-1)} ..(-1)^{l(z_k)-1)}[/mm]
> = [mm](-1)^{n-z(\pi))}[/mm]
Die Abbildung [mm] $\sgn: (S_n, \circ) \to (\{\pm 1\}, \cdot)$ [/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus. Das bedeutet, es gilt
[mm] $\sgn(\pi) [/mm] = [mm] \sgn(z_1 \circ [/mm] ... [mm] \circ z_k) [/mm] = [mm] \sgn(z_1) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \sgn(z_k)$.
[/mm]
Und für einen Zykel [mm] $z_i$ [/mm] gilt: [mm] $\sgn(z_i) [/mm] = [mm] (-1)^{l(z_i)-1}$. [/mm] Daher kommt die Formel.
Dass wirklich diese Gleichung [mm] $\sgn(z_i) [/mm] = [mm] (-1)^{l(z_i)-1}$ [/mm] gilt, kannst du dir wie folgt überlegen: Ein Zykel
[mm] z_i [/mm] = (a b c d)
kann geschrieben werden als
[mm] z_i [/mm] = (a d) (a c) (a b)
(und entsprechend alle längeren und kürzeren Zykel) und somit immer als Produkt von [mm] l(z_i) [/mm] - 1 Transpositionen. Das Signum von einer Transposition ist aber (-1).
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Sa 09.02.2013 | | Autor: | quasimo |
danke ist nun klar.
Liebste grüße
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