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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mi 03.05.2006 | | Autor: | stray |
| Aufgabe 1 | Verwenden Sie partielle Integration:
[mm] \integral [/mm] x log(x) dx |
| Aufgabe 2 | Integrieren Sie unbestimmt die folgenden ratioonalen Funktionen:
[mm] \integral \bruch{2x^2+5x-1}{x^3+x^2-2x} [/mm] dx |
| Aufgabe 3 | Integrieren Sie unbestimmt die folgenden ratioonalen Funktionen:
[mm] \integral \bruch{3x^2+2x-2}{x^3-1} [/mm] dx |
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Aufgabe 1
partielle Integration: [mm] \integral [/mm] u(x) * v'(x) dx = u(x) * v(x) - [mm] \integral [/mm] v(x) * u'(x) dx
[mm] \integral [/mm] x log(x) dx = x * v(x) - [mm] \integral [/mm] v(x) * 1 = x *v(x) - [mm] \integral [/mm] v(x)
Was ist v(x) ? Ansonsten versteh ichs ;o)
Aufgabe 2
Dazu fällt mir nur ein:
[mm] \integral \bruch{2x^2+5x-1}{x^3+x^2-2x} [/mm] dx => [mm] x^3+x^2-2x [/mm] = [mm] x(x^2+x-2)
[/mm]
und danach die Zerlegung mit [mm] \bruch{A}{x} + \bruch{B}{??} + [/mm] ...
nur wie ist diese Aufteilung
Aufgabe 3
[mm] \integral \bruch{3x^2+2x-2}{x^3-1} [/mm] dx => [mm] x^3-1 [/mm]
=> kann man ja nicht wie Aufg 2 "umschreiben"
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Do 04.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen stray!
Setze hier $v' \ = \ x$ sowie $u \ = \ [mm] \ln(x)$
[/mm]
Damit wird dann $v \ = \ [mm] \bruch{1}{2}x^2$ [/mm] und $u' \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] .
Anmerkung:
Ich habe hier die gegebene (Teil-)Funktion [mm] $\blue{\log(x)}$ [/mm] als den natürlichen Logarithmus [mm] $\blue{\ln(x)}$ [/mm] (also zur Basis [mm] $\blue{e}$ [/mm] ) interpretiert.
Bei anderen Basen [mm] $\blue{b}$ [/mm] gilt ansonsten: [mm] $\blue{u \ = \ \log_b(x)}$ $\blue{\Rightarrow}$ $\blue{u' \ = \ \bruch{1}{\ln(b)}*\bruch{1}{x}}$
[/mm]
Und nun in die Formel einsetzen ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Do 04.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen stray!
Es gilt ja für den Nenner (ausklammern und  p/q-Formel) :
[mm] $x^3+x^2-2x [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x^2+x-2\right) [/mm] \ = \ x*(x+2)*(x-1)$
Damit lautet die Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{2x^2+5x-1}{x^3+x^2-2x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x^2+5x-1}{x*(x+2)*(x-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x+2}+\bruch{C}{x-1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Do 04.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo stray!
Es gilt: [mm] $x^3-1 [/mm] \ = \ [mm] (x-1)*\left(x^2+x+1\right)$ [/mm] .
Damit wird dann: [mm] $\bruch{3x^2+2x-2}{x^3-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3x^2+2x-2}{(x-1)*\left(x^2+x+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B*x+C}{x^2+x+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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