Partielle Elastizität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mo 17.03.2014 | | Autor: | DRose |
| Aufgabe | Bestimmen Sie in den folgenden Fällen die partiellen Elastizitäten von z bezüglich x und y:
1(c) [mm] z=x^n e^x y^n e^y
[/mm]
Lösung: n+x und n+y |
Guten Abend
Ich glaube, mich verwirrt, dass ich alle 4 Variablen multiplizieren muss. Hier mal meine Berechnungen:
El z bez. x: [mm] x/(x^n*e^x*y^n*e^y) [/mm] * [mm] nx^{n-1}*e^x+x^n*e^x
[/mm]
Ich habe die beiden Variablen links per Produktregel multipliziert. Die beiden anderen Variablen sind bezüglich x konstant und fallen deshalb weg. Komme nicht auf das richtige Resultat.
Für El z bez. y: [mm] y/(x^n*e^x*y^n*e^y) [/mm] * [mm] ny^{n-1}*e^y+y^n*e^y
[/mm]
Bitte um Hilfe!
LG D Rose
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mo 17.03.2014 | | Autor: | chrisno |
> ...
> El z bez. x: [mm]x/(x^n*e^x*y^n*e^y)[/mm] * [mm]nx^{n-1}*e^x+x^n*e^x[/mm]
> Ich habe die beiden Variablen links per Produktregel
> multipliziert. Die beiden anderen Variablen sind bezüglich
> x konstant und fallen deshalb weg.
Das sind keine additiven Konstanten, sondern konstante Faktoren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mo 17.03.2014 | | Autor: | DRose |
Bin jetzt nicht sicher ob ich dies richtig verstanden habe, da ich nicht so mathematik versiert bin.
El z bez. x: [mm] x/(x^n*e^x*y^n*e^y) [/mm] dies sollte stimmen, oder? Zähler ist ja gegeben, und der Nenner wird nicht angepasst. Also liegt's an der Multplikation (ausführlichere Antworten versteh ich auf diesem Gebiet besser als kurz&knapp :) )
Wenn ich nach x ableite, dann fallen die zwei hinteren ja weg, da sie kein x enthalten. also nur die zwei vorderen...ich habe da ja vorher eine Produktregel gemacht was falsch war, also muss ich die einfach einzeln ableiten, sprich * [mm] nx^n-1 *e^x [/mm] rechnen? Wenn ich dies dann zusammenrechne, komme ich trotzdem nicht auf das Resultat der Lösungen. Was mach ich falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Di 18.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo DRose,
Du scheinst sehr durcheinander zu kommen. Du willst die par-
tiellen Elastizitäten der folgenden Funktion berechnen:
[mm] z(x,y):=x^ne^xy^ne^y [/mm] mit [mm] n\in\IN_0 [/mm] fest.
Berechnen wollen wir folgende zwei Teile:
[mm] \epsilon_{z,1}=x*\frac{z_x}{z},
[/mm]
[mm] \epsilon_{z,2}=y*\frac{z_y}{z}.
[/mm]
Berechne also zunächst [mm] $z_x$ [/mm] und [mm] $z_y$ [/mm] und fasse dann zusammen. Ich
gebe dir mal eine Starthilfe und berechne dir den ersten Teil.
Da wir nach $x$ ableiten gilt nach der Faktorregel:
[mm] z_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^ne^xy^ne^y)=y^ne^y\frac{\partial}{\partial x}(x^ne^x).
[/mm]
Nun betrachten wir das Ende. Wir leiten endlich nach $x$ ab und
benutzen dafür die Produktregel.
[mm] \frac{\partial}{\partial x}(x^ne^x)=n*x^{n-1}*e^x+x^n*e^x=e^xx^{n-1}(n+x).
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_x=y^ne^y\frac{\partial}{\partial x}(x^ne^x)=y^ne^ye^xx^{n-1}(n+x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \epsilon_{z.1}=x*\frac{z_x}{z}=x*\frac{y^ne^ye^xx^{n-1}(n+x)}{x^ne^xy^ne^y}=n+x.
[/mm]
Alles klar? Jetzt bist du mit dem zweiten Teil dran. Eigentlich
würde man den zweiten Teil, jedenfalls mit einer kleinen Begrün-
dung, sofort hinschreiben (Warum?), aber zu deiner eigenen Übung
empfehle ich dir das nochmal explizit auszurechnen.
Um Missverständnisse der Notation zu vermeiden:
[mm] z_x=z_x(x,y)=\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}.
[/mm]
Wichtig hierbei ist der Nenner, denn der zeigt dir, (unter
Anderem), dass wir (hier) nach $x$ ableiten.
Viel Spaß!
Gruß
DieAcht
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