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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Torina |
| Aufgabe | Verschiedene Parameterdarstellungen derselben Geraden
Die Gerade g geht durch die Punkte A (3/1/-2) und B (-2/4/-7)
a) Geben Sie zwei verschiedene Parameterdarstellungen der Geraden an.
b) Beschreiben Sie, wie man weitere Parameterdarstetlungen
der Geraden erhatten kann, und geben Sie einige an. |
zu a):
Ich habe nun also zuerst den Stützvektor, dann den Richtungsvektor berechnet.
Stützvektor
[mm]\vec OA = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
Richtungsvektor
[mm]\vec AB = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm]
Es ergibt sich die Parameterdarstellung:
[mm]\vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm]
Bei der zweiten Parameterdarstellung habe ich Probleme. Den Ortsvektor kann man ja nicht ändern. Also müsste der Richtungsvektor geändert werden, oder? Irgendwie muss man eine beliebige Zahl für u einsetzen und ein Vielfaches des Vektor berechnen. Und dann? Kann man das Vielfache einfach wieder für den Richtungsvektor einsetzen und ansonsten die vorherige Form beibehalten?
Vielen Dank für die Hilfe
Torina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Torina,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Verschiedene Parameterdarstellungen derselben Geraden
>
> Die Gerade g geht durch die Punkte A (3/1/-2) und B
> (-2/4/-7)
> a) Geben Sie zwei verschiedene Parameterdarstellungen der
> Geraden an.
> b) Beschreiben Sie, wie man weitere
> Parameterdarstetlungen
> der Geraden erhatten kann, und geben Sie einige an.
> zu a):
> Ich habe nun also zuerst den Stützvektor, dann den
> Richtungsvektor berechnet.
>
> Stützvektor
>
> [mm]\vec OA = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Richtungsvektor
>
> [mm]\vec AB = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm]
>
> Es ergibt sich die Parameterdarstellung:
>
> [mm]\vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei der zweiten Parameterdarstellung habe ich Probleme. Den
> Ortsvektor kann man ja nicht ändern. Also müsste der
> Richtungsvektor geändert werden, oder? Irgendwie muss man
Außer dem Richtungsvektor kannst Du auch den Ortsvektor ändern.
Wähle als Ortsvektor einen Vektor vom Ursprung zu einem Punkt auf der Geraden.
> eine beliebige Zahl für u einsetzen und ein Vielfaches des
> Vektor berechnen. Und dann? Kann man das Vielfache einfach
> wieder für den Richtungsvektor einsetzen und ansonsten die
> vorherige Form beibehalten?
>
Das kannst Du auch machen.
> Vielen Dank für die Hilfe
> Torina
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Torina |
Vielen lieben Dank für die superschnelle Antwort. :)
Das bedeutet die Lösung
[mm] g_2: \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -10 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} [/mm]
ist richtig da
[mm] 2 \cdot \vec v = 2 \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} [/mm]
?
Viele Grüße
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Hallo Torina,
> Vielen lieben Dank für die superschnelle Antwort. :)
>
> Das bedeutet die Lösung
>
> [mm]g_2: \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -10 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ist richtig da
>
> [mm]2 \cdot \vec v = 2 \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ?
>
Ja. .
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Torina |
| Aufgabe | Eine Gerade g ist gegeben durch g: [mm] \vec x = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm]
b) Zeigen sie, dass [mm] \vec x = \begin{pmatrix} 29 \\ 20 \\ -67 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -10 \\ -5 \\ 20 \end{pmatrix} [/mm] ebenfalls eine Parameterdarstellung von g ist. |
Ich habe diese Aufgabe einfach mal ins gleiche Thema gestellt, da es ja immer noch um dieses geht.
Ich hab versucht im folgenden zu zeigen, dass der neue Stützvektor auf einem Punkt basiert, der zur Gerade g gehört und dass der Richtungsvektor ein Vielfaches des Richtungsvektors von der Gerade g ist.
Also:
Der Stützvektor:
[mm] \vec x = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29 \\ 20 \\ -67 \end{pmatrix} [/mm]
Dann ein Gleichungssystem
-5 + 2u = 29
3 + 1u = 20
1 - 4u = -67
u = 17
u ist immer 17, also der Stützvektor ein Punkt auf der Geraden.
Der Richtungsvektor:
[mm] \begin{pmatrix} u \cdot 2 \\ u \cdot 1 \\ u \cdot -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 20 \end{pmatrix} [/mm]
Wieder ein Gleichungssystem:
u [mm] \cdot [/mm] 2 = -10
u [mm] \cdot [/mm] 1 = -5
u [mm] \cdot [/mm] -4 = 20
u ist immer -5, der Richtungsvektor also ein Vielfaches des Richtungsvektors der Gerade g.
Das ist doch aber irgendwie sehr umständlich, geht das auch noch anders?
Viele Grüße
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Hallo Torina,
> Eine Gerade g ist gegeben durch g: [mm]\vec x = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> b) Zeigen sie, dass [mm]\vec x = \begin{pmatrix} 29 \\ 20 \\ -67 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -10 \\ -5 \\ 20 \end{pmatrix}[/mm]
> ebenfalls eine Parameterdarstellung von g ist.
> Ich habe diese Aufgabe einfach mal ins gleiche Thema
> gestellt, da es ja immer noch um dieses geht.
>
> Ich hab versucht im folgenden zu zeigen, dass der neue
> Stützvektor auf einem Punkt basiert, der zur Gerade g
> gehört und dass der Richtungsvektor ein Vielfaches des
> Richtungsvektors von der Gerade g ist.
>
> Also:
>
> Der Stützvektor:
>
> [mm]\vec x = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29 \\ 20 \\ -67 \end{pmatrix} [/mm]
>
> Dann ein Gleichungssystem
>
> -5 + 2u = 29
> 3 + 1u = 20
> 1 - 4u = -67
>
> u = 17
>
> u ist immer 17, also der Stützvektor ein Punkt auf der
> Geraden.
>
> Der Richtungsvektor:
>
> [mm]\begin{pmatrix} u \cdot 2 \\ u \cdot 1 \\ u \cdot -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 20 \end{pmatrix} [/mm]
>
> Wieder ein Gleichungssystem:
>
> u [mm]\cdot[/mm] 2 = -10
> u [mm]\cdot[/mm] 1 = -5
> u [mm]\cdot[/mm] -4 = 20
>
> u ist immer -5, der Richtungsvektor also ein Vielfaches des
> Richtungsvektors der Gerade g.
>
> Das ist doch aber irgendwie sehr umständlich, geht das
> auch noch anders?
>
Zu prüfen ist doch nur, ob
[mm]\pmat{29 \\ 20 \\ -67}[/mm]
ein Punkt der Geraden g ist.
Für die Richtungsvektoren erübrigt sich das,
da diese Vielfache voneinander sind.
> Viele Grüße
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Torina |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
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