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Hallo,
ich bin mir bei einer Sache irgendwie unsicher. Wenn ich den Ring [mm] \IZ_p^{\times} [/mm] mit p Primzahl nehme, dann ist dies ja ein Körper. Nun ist meine Frage: Existiert dort eine eindeutige Primfaktorzerlegung?
Ich glaube die gibt es da nicht, aber ich kann dies nicht wirklich begründen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Di 21.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich bin mir bei einer Sache irgendwie unsicher. Wenn ich
> den Ring [mm]\IZ_p^{\times}[/mm] mit p Primzahl nehme, dann ist dies
> ja ein Körper. Nun ist meine Frage: Existiert dort eine
> eindeutige Primfaktorzerlegung?
Ja, die gibt es, die ist aber sehr langweilig. Du kannst jedes Element eindeutig in der Form $u [mm] \cdot \prod_{i=1}^n p_i^{e_i}$ [/mm] schreiben mit $u$ einer Einheit und [mm] $p_1, \dots, p_n$ [/mm] Primelementen. Da es in einem Koerper keine Primelemente gibt, ist $n = 0$, womit $u$ uebrig bleibt.
Die Primfaktorzerlegung eines Elementes ist also das Element selber.
LG Felix
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