Orthogonalbasis < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Mo 09.05.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei K = [mm] \IZ/2\IZ [/mm] und [mm] \phi [/mm] eine symmetrische Bilinearform auf [mm] K^2 [/mm] mit
[mm] A_{\phi,E} [/mm] = [mm] \pmat{ 0&1 \\ 1&0}, E=\{e_1,e_2\}
[/mm]
(a) Beweise, dass [mm] \phi(v,v) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] v [mm] \in K^2 [/mm] gilt. Insbesondere besitzt [mm] K^2 [/mm] keine Orthogonalsbasis bezüglich [mm] \phi.
[/mm]
(b) Ist [mm] \phi [/mm] ausgeartet? |
zu (a):
[mm] \phi(v,v)=(v_1,v_2)*\pmat{ 0&1 \\ 1&0}*\pmat{ v_1 \\ v_2 } [/mm] = [mm] v_1*v_2 [/mm] + [mm] v_1*v_2
[/mm]
Fallunterscheidung:
Für [mm] v_1*v_2 [/mm] = 0 gilt [mm] \phi(v,v)=0 \in [/mm] K.
Für [mm] v_1*v_2 [/mm] = 1 gilt [mm] \phi(v,v)=0 \in [/mm] K.
[mm] K^2 [/mm] besitzt keine Orthogonalbasis bzgl [mm] \phi:
[/mm]
Sei B eine Orthogonalbasis von [mm] K^2 [/mm] bzgl [mm] \phi. [/mm] Seien v,w [mm] \in [/mm] B, es muss gelten: [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] B : v [mm] \not= [/mm] w [mm] \Rightarrow [/mm] <v,w> = 0.
[mm] \phi(v,w) [/mm] = [mm] (v_1,v_2)*\pmat{ 0&1 \\ 1&0}*\pmat{ w_1 \\ w_2 } [/mm] = [mm] w_1v_2 [/mm] + [mm] w_1v_2 [/mm] = 0
[mm] \gdw v_1w_2 [/mm] = [mm] v_2w_1 \gdw [/mm] v=w [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch zur Vorraussetzung v [mm] \not= [/mm] w !
[mm] K^2 [/mm] besitzt also keine Orthogonalbasis bzgl. [mm] \phi.
[/mm]
(b) Hier bin ich mir nicht sicher, aber würde sagen [mm] \phi [/mm] ist nicht ausgeartet wegen [mm] det(A_{\phi,E}) \not= [/mm] 0 ?!
Vielen Dank fürs drüberschauen! :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Mo 09.05.2011 | | Autor: | chesn |
Kann niemand helfen? Oder liege ich mit der Lösung total daneben?
Soll übrigens heißen [mm] v_1w_2 [/mm] + [mm] v_2w_1 [/mm] = 0 .. Tippfehler. ;)
Vielen Dank schonmal! :]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mo 09.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei K = [mm]\IZ/2\IZ[/mm] und [mm]\phi[/mm] eine symmetrische Bilinearform
> auf [mm]K^2[/mm] mit
>
> [mm]A_{\phi,E}[/mm] = [mm]\pmat{ 0&1 \\ 1&0}, E=\{e_1,e_2\}[/mm]
>
> (a) Beweise, dass [mm]\phi(v,v)[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] v [mm]\in K^2[/mm] gilt.
> Insbesondere besitzt [mm]K^2[/mm] keine Orthogonalsbasis bezüglich
> [mm]\phi.[/mm]
>
> (b) Ist [mm]\phi[/mm] ausgeartet?
> zu (a):
>
> [mm]\phi(v,v)=(v_1,v_2)*\pmat{ 0&1 \\ 1&0}*\pmat{ v_1 \\ v_2 }[/mm]
> = [mm]v_1*v_2[/mm] + [mm]v_1*v_2[/mm]
>
> Fallunterscheidung:
>
> Für [mm]v_1*v_2[/mm] = 0 gilt [mm]\phi(v,v)=0 \in[/mm] K.
> Für [mm]v_1*v_2[/mm] = 1 gilt [mm]\phi(v,v)=0 \in[/mm] K.
O.K.
>
> [mm]K^2[/mm] besitzt keine Orthogonalbasis bzgl [mm]\phi:[/mm]
Das brauchst Du doch nichz mehr zeigen, das folgt doch schon aus Obigem !!
Falls es eine Orthogonalbasis gäbe, so hätte man
$ [mm] \phi(v,v) [/mm] $ [mm] \ne [/mm] 0 für mindestens ein v $ [mm] \in K^2 [/mm] $
>
> Sei B eine Orthogonalbasis von [mm]K^2[/mm] bzgl [mm]\phi.[/mm] Seien v,w [mm]\in[/mm]
> B, es muss gelten: [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm] B : v [mm]\not=[/mm] w
> [mm]\Rightarrow[/mm] <v,w> = 0.
>
> [mm]\phi(v,w)[/mm] = [mm](v_1,v_2)*\pmat{ 0&1 \\ 1&0}*\pmat{ w_1 \\ w_2 }[/mm]
> = [mm]w_1v_2[/mm] + [mm]w_1v_2[/mm] = 0
> [mm]\gdw v_1w_2[/mm] = [mm]v_2w_1 \gdw[/mm] v=w [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch zur
> Vorraussetzung v [mm]\not=[/mm] w !
>
> [mm]K^2[/mm] besitzt also keine Orthogonalbasis bzgl. [mm]\phi.[/mm]
>
> (b) Hier bin ich mir nicht sicher, aber würde sagen [mm]\phi[/mm]
> ist nicht ausgeartet wegen [mm]det(A_{\phi,E}) \not=[/mm] 0 ?!
Stimmt
FRED
>
> Vielen Dank fürs drüberschauen! :)
|
|
|
|
