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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Fr 24.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Intervallschachtelung impleziert Ordnungsvollständigkeit.
Sei A ein beschränkte nicht leere Teilmenge von [mm] \IR. [/mm] Wir konstruieren eine Intervallschachtelung [mm] I_n [/mm] = [mm] [a_n [/mm] , [mm] b_n] [/mm] (n [mm] \in \IN) [/mm] mit:
1) jedes [mm] b_n [/mm] ist eine obbere Schranke für A
2) kein [mm] a_n [/mm] ist eine obere Schranke für A
Konstruktion: [mm] [a_0, b_0] \supseteq [/mm] .. [mm] \supseteq [a_n, b_n] [/mm] wurden kornstruiert so dass 1) & 2) gelten. Sei m:= [mm] \frac{b_n - a_n}{2} [/mm] der Mittelpunkt von [mm] I_n [/mm] und definiere
[mm] [a_{n+1} [/mm] , [mm] b_{n+1}] :=\begin{cases} [a_n,m], & \mbox{für m ist eine obere Schranke von} \mbox{ A} \\ [m,b_n], & \mbox{sonst} \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Durch Prinzip der Intervallschachtelung haben wir [mm] \bigcap_{n \in \IN} I_n [/mm] = [mm] \{s\} [/mm] für ein s [mm] \in \IR
[/mm]
Beweis 1) zuZeigen: s ist eine obere Schranke von A
Indirekt, [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A so dass x > s. Da [mm] a_n [/mm] <= s <= [mm] b_n [/mm] für alle n und [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] -> 0 [mm] (n->\infty) [/mm] existiert N so dass
[mm] b_N [/mm] - s <= [mm] b_N [/mm] - [mm] a_n [/mm] < x -s
[mm] b_N [/mm] < s -> Widerspruch zur Eigenschaft 1) |
Hallo,
Der Absatz ist von meinen Skriptum ins deutschte stichwortartig übersetzt.Wer ins Original lieber reischaut: http://homepage.univie.ac.at/christian.schmeiser/einfanalysis.pdf (Seite 34 im pdf)
Ich verstehe nicht wieso gilt: [mm] b_N [/mm] - [mm] a_N [/mm] < x -s
Könnte mir das wer erklären?
Liebe Grüße
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Hallo quasimo,
> Intervallschachtelung impleziert Ordnungsvollständigkeit.
> Sei A ein beschränkte nicht leere Teilmenge von [mm]\IR.[/mm] Wir
> konstruieren eine Intervallschachtelung [mm]I_n[/mm] = [mm][a_n[/mm] , [mm]b_n][/mm]
> (n [mm]\in \IN)[/mm] mit:
> 1) jedes [mm]b_n[/mm] ist eine obbere Schranke für A
> 2) kein [mm]a_n[/mm] ist eine obere Schranke für A
> Konstruktion: [mm][a_0, b_0] \supseteq[/mm] .. [mm]\supseteq [a_n, b_n][/mm]
> wurden kornstruiert so dass 1) & 2) gelten. Sei m:=
> [mm]\frac{b_n - a_n}{2}[/mm] der Mittelpunkt von [mm]I_n[/mm] und definiere
> [mm][a_{n+1}[/mm] , [mm]b_{n+1}] :=\begin{cases} [a_n,m], & \mbox{für m ist eine obere Schranke von} \mbox{ A} \\
[m,b_n], & \mbox{sonst} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Durch Prinzip der Intervallschachtelung haben wir
> [mm]\bigcap_{n \in \IN} I_n[/mm] = [mm]\{s\}[/mm] für ein s [mm]\in \IR[/mm]
>
> Beweis 1) zuZeigen: s ist eine obere Schranke von A
> Indirekt, [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A so dass x > s. Da [mm]a_n[/mm] <= s <=
> [mm]b_n[/mm] für alle n und [mm]b_n[/mm] - [mm]a_n[/mm] -> 0 [mm](n->\infty)[/mm] existiert N
> so dass
> [mm]b_N[/mm] - s <= [mm]b_N[/mm] - [mm]a_n[/mm] < x -s
> [mm]b_N[/mm] < s -> Widerspruch zur Eigenschaft 1)
> Hallo,
> Der Absatz ist von meinen Skriptum ins deutschte
> stichwortartig übersetzt.Wer ins Original lieber
> reischaut:
> http://homepage.univie.ac.at/christian.schmeiser/einfanalysis.pdf
> (Seite 34 im pdf)
> Ich verstehe nicht wieso gilt: [mm]b_N[/mm] - [mm]a_N[/mm] < x -s
> Könnte mir das wer erklären?
Es ist nach Annahme [mm]x>s[/mm], also [mm]x-s>0[/mm]
Da aber [mm]b_n-a_n\to 0[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] gibt es sicher ein [mm]N[/mm], ab dem [mm]b_n-a_n[/mm] näher an Null liegt als (die feste positive Zahl) [mm]x-s[/mm]
>
>
> Liebe Grüße
Gruß zurück!
schachuzipus
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