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| Aufgabe | Satz
Sei ||y||=1. Dann gilt für jedes y für denn Rayleigh-QUotient p(y)=(Ay,y).
dann gilt für eine Matrix A :
[mm] ||Ay-p(y)y||=min_{\mu \in \IK} [/mm] ||Ay - [mm] \mu [/mm] y || = [mm] \wurzel{||Ay||^2 - p(y)^2} [/mm] |
Frage:
Hallo,
in dem Beweis zu obigen Satz gilt:
||Ay- [mm] \mu y||^2 [/mm] = [mm] ||Ay||^2 +|\mu|^2 -2Re(\mu)p(y) [/mm]
Woher kommt der realteil??
Also bis hierhin ist klar:
||Ay- [mm] \mu y||^2 [/mm] = (Ay - [mm] \mu [/mm] y, Ay - [mm] \mu [/mm] y)
= (Ay,Ay) + [mm] (\mu [/mm] y, [mm] \mu [/mm] y) - (Ay , [mm] \mu [/mm] y) - [mm] (\mu [/mm] y,Ay )
= [mm] ||Ay||^2 [/mm] + [mm] ||\mu y||^2 [/mm] - (Ay , [mm] \mu [/mm] y) - [mm] (\mu [/mm] y,Ay )
und [mm] ||\mu y||^2 [/mm] = [mm] |\mu|^2 [/mm]
Aber wieso gilt
- (Ay , [mm] \mu [/mm] y) - [mm] (\mu [/mm] y,Ay ) = -2 [mm] Re(\mu) [/mm] p(y) , wobei p(y) = (Ay,y)
???????????
Wäre sehr dankbar für Hinweise.
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Fr 25.01.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
das Skalarprodukt für Komplexe Zahlen ist so definiert:
[mm] \vec x*\vec y = \sum_{k=1}^{n} x_i*\bar y_i [/mm],
wobei [mm]y_i=x+ib [/mm] und [mm] \bar y_i = a-ib[/mm]
> Frage:
> Hallo,
> in dem Beweis zu obigen Satz gilt:
> ||Ay- [mm]\mu y||^2[/mm] = [mm]||Ay||^2 +|\mu|^2 -2Re(\mu)p(y)[/mm]
> Woher kommt der realteil??
>
> Also bis hierhin ist klar:
> ||Ay- [mm]\mu y||^2[/mm] = (Ay - [mm]\mu[/mm] y, Ay - [mm]\mu[/mm] y)
> = (Ay,Ay) + [mm](\mu[/mm] y, [mm]\mu[/mm] y) - (Ay , [mm]\mu[/mm] y) - [mm](\mu[/mm] y,Ay )
> = [mm]||Ay||^2[/mm] + [mm]||\mu y||^2[/mm] - (Ay , [mm]\mu[/mm] y) -
> [mm](\mu[/mm] y,Ay )
[mm] \mu[/mm] kann komplex sein, deshalb gilt:
[mm] - \left\langle Ay ,\mu y\right\rangle - \left\langle\mu y,Ay\right\rangle = -\left\langle Ay, y \right\rangle \bar\mu - \mu \left\langle y, Ay \right\rangle = (-\bar\mu-\mu)*\left\langle Ay, y \right\rangle[/mm]
mit [mm]\mu=a+ib[/mm] und [mm]\bar\mu=a-ib[/mm] ist dann
[mm] =(-a+ib-a-ib)*\left\langle Ay, y \right\rangle= (-2a)*\left\langle Ay, y \right\rangle=2*Re(\mu)*\left\langle Ay, y \right\rangle [/mm].
Gruß zetamy
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