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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Mi 23.02.2011 | | Autor: | SeLo |
| Aufgabe | f(x1,x2,t) = x1*e^(-x2*t)
Startvektor x(0) =(0,6 ; 0,15)
i 1 2 3 4
ti 5 10 15 20
yi 0,303 0,184 0,112 0,0677
Bestimmung von x1 und x2 |
Ich habe nun einen Algorithmus aus dem Skript wo man die Funktion erst mal linearisieren muss nach Taylor! Ich habe also die Funktion jeweils nach x1 und x2 abgeleitet und zwar die 1. und 2. Ableitung und dann noch die erste Ableitung von x1 noch nach x2 abgeleitet.
Die Ableitungen:
fx1 = e^(-x2*t)
fx2 = -x1*e^(-x2*t)*t
fx1x1 = 0
fx2x2 = [mm] x1*t^2*e^{-x2*t}
[/mm]
fx1x2 = -t*e^(-x2*t)
Die Taylorreihe:
f(x1,x2) = [mm] f(x10,x20)+\bruch{1}{1!}*(x1-x10)*fx1(x10,x20)+(x2-x20)*fx2(x10,x20)+\bruch{1}{2!}*(x1-x10)^2*fx1x1(x10,x20)+2*(x1-x10)(x2-x20)*fx1x2(x10,x20)+(x2-x20)^2*fx2x2(x10,x20)
[/mm]
Leider komme ich schon bei diesem ersten Schritt des Algorithmus nicht weiter da ich das Problem habe dass ich nicht weiß was ich in der Taylorreihe jeweils für das t einsetzen muss.
Kann mir da jemand weiterhelfen??
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Hallo SeLo,
> f(x1,x2,t) = x1*e^(-x2*t)
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> Startvektor x(0) =(0,6 ; 0,15)
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> i 1 2 3 4
> ti 5 10 15 20
> yi 0,303 0,184 0,112 0,0677
>
> Bestimmung von x1 und x2
> Ich habe nun einen Algorithmus aus dem Skript wo man die
> Funktion erst mal linearisieren muss nach Taylor! Ich habe
> also die Funktion jeweils nach x1 und x2 abgeleitet und
> zwar die 1. und 2. Ableitung und dann noch die erste
> Ableitung von x1 noch nach x2 abgeleitet.
>
> Die Ableitungen:
>
> fx1 = e^(-x2*t)
> fx2 = -x1*e^(-x2*t)*t
> fx1x1 = 0
> fx2x2 = [mm]x1*t^2*e^{-x2*t}[/mm]
> fx1x2 = -t*e^(-x2*t)
>
> Die Taylorreihe:
>
> f(x1,x2) =
> [mm]f(x10,x20)+\bruch{1}{1!}*(x1-x10)*fx1(x10,x20)+(x2-x20)*fx2(x10,x20)+\bruch{1}{2!}*(x1-x10)^2*fx1x1(x10,x20)+2*(x1-x10)(x2-x20)*fx1x2(x10,x20)+(x2-x20)^2*fx2x2(x10,x20)[/mm]
>
> Leider komme ich schon bei diesem ersten Schritt des
> Algorithmus nicht weiter da ich das Problem habe dass ich
> nicht weiß was ich in der Taylorreihe jeweils für das t
> einsetzen muss.
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen??
Hier ist doch sicher die Funktion
[mm]g\left(x_{1},x_{2}\right):=\summe_{i=1}^{4}\left(y_{i}-f\left(x_{1},x_{2},t_{i}\right) \ \right)^{2}[/mm]
gemeint.
Diese Funktion ist zu minimieren.
Dazu ist das nichlineare Gleichungssystem
[mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{1}}\left(x_{1},x_{2}\right)=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{2}}\left(x_{1},x_{2}\right)=0[/mm]
zu lösen.
Um daraus ein lineares Gleichungssytem zu entwickeln,
ersetzt Du diese Gleichungen durch die Tangentialebene in [mm]\left(x_{1},x_{2}\right)[/mm]
Daraus ergibt sich dann ein Iterationsverfahren.
( Newton-Verfahren im [mm]\IR^{2}[/mm] )
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Fr 25.02.2011 | | Autor: | SeLo |
Danke für die Hilfe werde es dann mal so versuchen!!
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