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Möbius Transformation: Abbildung auf obere Halbebene
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:05 So 24.02.2008
Autor: TRANSLTR

Aufgabe
Sei [mm] M_{1} [/mm] = {z [mm] \in \IC: [/mm] |z| < 1} die offene Kreisscheibe und [mm] M_{2} [/mm] = {z [mm] \in \IC: [/mm] Im(z) > 0} die obere Halbebene. Betrachte die Funktion
f: [mm] M_{1} [/mm] -> [mm] M_{2}, [/mm] f(z) = i [mm] \bruch{1 + z}{1 - z} [/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Funktion f bijektiv ist.
b) Bestimmen Sie eine Formel für die inverse Funktion [mm] f^{-1}: M_{2} [/mm] -> [mm] M_{1} [/mm]

Zu a)
Bijektiv heisst die Funktion ist surjektiv (der ganze Bildbereich der oberenen Halbebene wird ausgenutzt) und injektiv (jeder Wert x wird auf ein eindeutiges f(x) abgebildet).
Ich habe mir gedacht, dass man die Surjektivität bestätigen kann, indem man Im(z) > 0 & Re(z) > 0 beweist.
i [mm] \bruch{1 + z}{1 - z} [/mm] = [mm] \bruch{i(x + iy) + i}{1 - (x + iy)} [/mm] = [mm] \bruch{ix - y^{2} + i}{(1 - x) - iy)}. [/mm]
Jetzt konjugiert erweitern (-> 3. Binom)
[mm] \bruch{(ix - y^{2} + i) (1 - x + iy)}{(1 - x)^{2} + y^{2})} [/mm]
= [mm] \bruch{-xy - y^{2} + xy^{2} - y)}{(1 - x)^{2} + y^{2})} [/mm] + i [mm] \bruch{-x^{2} - y^{3} + 1}{(1 - x)^{2} + y^{2})}. [/mm]
Hier komme ich nicht weiter..ich versteh' nicht wie jetzt der Real- und Imaginärteil > 0 sind...

Wie beweist man denn die Injektivität??

Zu b)
Kann man die Umkehrfunktion berechnen, indem man f(z) = Bild = b setzt und auf z auflöst? Konkret wäre das:
b = [mm] \bruch{iz + i}{1 - z} [/mm] || * (1 - z)
b - bz = iz + i
z(i + b) = b - i
z = [mm] \bruch{b - i}{i + b}. [/mm] Stimmt das denn?

Ich freue mich auf eure Lösungsvorschläge...



        
Bezug
Möbius Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:38 Mo 25.02.2008
Autor: Somebody


> Sei [mm]M_{1} = \{z \in \IC: |z| < 1\}[/mm] die offene Kreisscheibe
> und [mm]M_{2} = \{z \in \IC: Im(z) > 0\}[/mm] die obere Halbebene.
> Betrachte die Funktion
>  [mm]f: M_{1} \rightarrow M_{2}, f(z) = i \bruch{1 + z}{1 - z}[/mm]
>  a)
> Zeigen Sie, dass die Funktion f bijektiv ist.
>  b) Bestimmen Sie eine Formel für die inverse Funktion
> [mm]f^{-1}: M_{2}[/mm] -> [mm]M_{1}[/mm]
>  Zu a)
>  Bijektiv heisst die Funktion ist surjektiv (der ganze
> Bildbereich der oberenen Halbebene wird ausgenutzt) und
> injektiv (jeder Wert x wird auf ein eindeutiges f(x)
> abgebildet).
>  Ich habe mir gedacht, dass man die Surjektivität
> bestätigen kann, indem man Im(z) > 0 & Re(z) > 0 beweist.
>  i [mm]\bruch{1 + z}{1 - z}[/mm] = [mm]\bruch{i(x + iy) + i}{1 - (x + iy)}[/mm]
> = [mm]\bruch{ix - y^{2} + i}{(1 - x) - iy)}.[/mm]

[notok] [mm] $-y^2$ [/mm] ist falsch: sollte $-y$ sein.

>  Jetzt konjugiert
> erweitern (-> 3. Binom)
>  [mm]\bruch{(ix - \red{y^{2}} + i) (1 - x + iy)}{(1 - x)^{2} + y^{2})} = \bruch{-xy - y^{2} + xy^{2} - y)}{(1 - x)^{2} + y^{2})}+ i \bruch{-x^{2} - y^{3} + 1}{(1 - x)^{2} + y^{2})}.[/mm]
>  Hier
> komme ich nicht weiter..ich versteh' nicht wie jetzt der
> Real- und Imaginärteil > 0 sind...

Du musst nur zeigen, dass der Imaginärteil >0 ist. Dazu musst Du bedenken, dass [mm] $x^2+y^2<1$ [/mm] und $|x|,|y|< 1$ gilt.

>  
> Wie beweist man denn die Injektivität??

Z.B. wie in b)...

>  
> Zu b)
> Kann man die Umkehrfunktion berechnen, indem man f(z) =
> Bild = b setzt und auf z auflöst? Konkret wäre das:
>  b = [mm]\bruch{iz + i}{1 - z}[/mm] || * (1 - z)
>  b - bz = iz + i
>  z(i + b) = b - i
>  z = [mm]\bruch{b - i}{i + b}.[/mm] Stimmt das denn?

ja. und weil nach Teilaufgabe a) der Imaginärteil von $b$ > 0 ist, ist die Division durch $i+b$ auch immer möglich.

Bezug
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