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| Aufgabe | | Sei A eine Teilmenge eine metrischen Raumes. Zeigen sie [mm] \overline{\overline{A}}=\overline{A} [/mm] (Also der Abschluß vom Abschluß von A=Abschluß von A) und (A°)°=A° (Also das Innere vom Inneren von A=Innere von A). Was können sie über [mm] \partial(\partial [/mm] A) (also der Rand vom Rand von A)sagen? |
Hallo zusammen.
Also meine Idee zu 1.
[mm] \overline{A}=\bigcap_{B\supset A} [/mm] B =:C (wobei B abgeschlossen)
[mm] \overline{C}=\bigcap_{D\supset C} [/mm] D (wober D abgeschlossen)
jetzt zusammen hinschreiben:
[mm] \overline{\overline{A}}=\bigcap_{D\supset C\supset A} [/mm] (D,C)
--> da D und C beides Obermengen von A, ist der Abschluß auch gleich, da auch gelten muss:
[mm] \overline{A}= x\in [/mm] M | für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] : [mm] B_{\epsilon}(x)\cap A\not=\emptyset
[/mm]
Also die Kugel immer auch in A liegen muss.
analog 2.
[mm] A°=\bigcup_{B\subset A} [/mm] B =:C (wobei B offen)
[mm] C°=\bigcup_{D\subset C} [/mm] D (wober D offen)
jetzt zusammen hinschreiben:
[mm] (A°)°=\bigcup_{D\subset C\subset A} [/mm] (D,C)
--> da D und C beides Teilmengen von A, ist der Innere auch gleich, da auch gelten muss:
A°= [mm] x\in [/mm] M | ex r>0 : [mm] B_{r}(x)\subset A\
[/mm]
Also die Kugel immer eine Teilmenge von A ist
Drittens, habe ich mir so überlegt:
es gilt ja [mm] \partial [/mm] A [mm] =\overline{A} [/mm] \ A°
Da aber der Rand offen ist, kann es keinen Abschluß geben
--> es existiert kein Rand vom Rand
Auch logisch --> Rand ist die kleinste Grenze, davon kann es keine weitere geben.
Ihr könnt mir ja mal bitte ein paar Hinweise geben, ob ich mit meiner Denkweise richtig liege.
Machts gut und noch ein schönes Wochenende.
Tschüß sagt Röby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 05.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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