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| Aufgabe | Z.z.: Eine Abbildung f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y zwischen zwei metrischen Räumen (X,d) und (Y,g) ist genau dann stetig auf X, falls für jede in (Y,g) abgeschlossene Menge W [mm] \subset [/mm] Y das inverse Bild
[mm] f^{-1} [/mm] (W):= {x [mm] \in [/mm] X : f(x) [mm] \in [/mm] W}
abgeschlossen in (X,d) ist |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß dass mein Ansatz stimmt, weiß aber nicht ob die Durchführung sauber ist bzw. richtig ist, deswegen wäre es lieb wenn Jemand mal drüber gucken könnte. Es gibt auf die Aufgabe nämlich relativ viele Punkte und dafür erscheint mir der Beweis zu einfach.
Bew:
es gilt: 1. W ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] Y \ W =: C [mm] \subset [/mm] Y ist offen
2. f ist stetig [mm] \gdw [/mm] ist C [mm] \subset [/mm] Y offen, so auch [mm] f^{-1}(C)
[/mm]
zz: ist C offen, so auch [mm] f^{-1}(C) \gdw [/mm] ist W abgeschlossen, so auch [mm] f^{-1}(W)
[/mm]
Bew: [mm] '\Rightarrow' [/mm] es gilt: C und [mm] f^{-1}(C) [/mm] sind offen
[mm] \Rightarrow [/mm] W ist abgeschlossen laut 1.
[mm] \Rightarrow [/mm] X\ [mm] f^{-1}(C) [/mm] = [mm] f^{-1}(Y [/mm] \ C) = [mm] f^{-1}(W) [/mm] * ist abgeschlossen laut 1.
[mm] '\Leftarrow' [/mm] es gilt: W und [mm] f^{-1}(W) [/mm] sind abgeschlossen
[mm] \Rightarrow [/mm] C ist offen laut 1.
[mm] \Rightarrow [/mm] X\ [mm] f^{-1}(W) [/mm] = [mm] f^{-1}(Y [/mm] \ W) = [mm] f^{-1}(C) [/mm] * ist offen laut 1.
(*) x [mm] \in f^{-1}(C) \gdw [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] C [mm] \gdw [/mm] f(x) [mm] \not\in [/mm] W [mm] \gdw [/mm] x [mm] \not\in f^{-1}(W) \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X \ [mm] f^{-1}(W) [/mm]
x [mm] \in f^{-1}(W) \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X \ [mm] f^{-1}(C) [/mm] analog
da 2. [mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung [mm] \Box
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mi 19.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
dein Anfang gefällt mir nicht.
Wenn du z.B. $ [mm] '\Rightarrow' [/mm] $ zeigen willst, solltest du mit einer beliebigen abgeschlossenen Menge [mm] $W\subset [/mm] Y$ starten. Du setzt $Y [mm] \backslash [/mm] W =: C$. Dann ist $C$ offen, nach Voraussetzung ist also $ [mm] f^{-1}(C) [/mm] $ offen in X.
Liebe Grüße
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