Maximum-Likelihood-Schätzer < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mi 30.01.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,P_p)_{p\in[0,1]} [/mm] ein Modell mit [mm] X=\{0,1,2,3,...,n\} [/mm] und
[mm] P_p(k)=\begin{cases} p, & \mbox{für } k \mbox{ =0} \\ \bruch{1-p}{n}, & \mbox{für } k \mbox{ =\{1,2,3,...,n\}} \end{cases}
[/mm]
Bestimme den Maximum-Likelihood-Schätzer von p. |
Hi,
mal wieder eine Frage mit einem Maximum-Likelihood-Schätzer. Anscheinend habe ich das Prinzip doch noch nicht so ganz verinnerlicht. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ich würde folgendes machen: Wir wollen Maximum bestimmen. p ist Parameter, also ableiten nach p:
[mm] P'_p(k)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k \mbox{ =0} \\ \bruch{-1}{n}, & \mbox{für } k \mbox{ =\{1,2,3,...,n\}} \end{cases}
[/mm]
Jetzt würde ich sagen: für k=0 ist Maximum-Likelihood-Schätzer p=1.
für [mm] k=\{1,2,3,...,n\} [/mm] würde ich sagen: [mm] -\bruch{1}{n} [/mm] streng monoton fallend [mm] \forall [/mm] n>0.
Für n<0 ist [mm] -\bruch{1}{n}>0
[/mm]
Aber wie kann ich jetzt eine Aussage über den Maximum-Likelihood-Schätzer treffen?
Und heißt [mm] (X,P_p)_{p\in[0,1]}, [/mm] dass der Maximum-Likelihood-Schätzer (nennen wir ihn) [mm] p'\in[0,1] [/mm] sein muss?
MfG barsch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Mi 30.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin barsch,
da ich ja weiss, dass du Beispiele bevorzugst, hier ist eins: Angenommen
du beobachtest die unabhaengigen Realisationen 2,1,0,3,2,0,1. Welcher
"Schweinehund" p ist wohl dafuer verantworlich, dass wir genau diese
Beobachtungen hatten? Fuer gegebenes p ist die Wsk, dafuer, diese Werte
zu erhalten gegeben durch die Likelihoodfunktion
[mm] $L(p)=P(X_1=2)P(X_2=1)P(X_3=0)P(X_4=3)P(X_5=2)P(X_6=0)P(X_7=1)=p^2\left(\dfrac{1-p}{n}\right)^5$
[/mm]
Der gesuchte Schweinehund ist der Wert p, der diese Funktion maximiert.
Weil Mathematiker die Verallgemeinerung moegen, nehmen wir an, dass m
Beobachtungen [mm] $x_1,\dots,x_m$ [/mm] vorliegen. Dann ist
[mm] $L(p)=p^k\left(\dfrac{1-p}{n}\right)^{m-k}$,
[/mm]
wobei k die Haeufigkeit der 0 ist. Logarithmiere und leite ab. Du wirst
den ML-Schaetzer [mm] $\hat [/mm] p=k/m$ finden, was auch Sinn macht. Im obigen Beispiel
ist [mm] $\hat [/mm] p=2/7$.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Mi 30.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Moin barsch,
>
> da ich ja weiss, dass du Beispiele bevorzugst, hier ist
> eins:
ist das so offensichtlich 
Vielen Dank für dieses Beispiel. Im Ernst, dass hilft mir sehr viel weiter. Wenn mein Prof nur einmal ein solches Beispiel bringen würde, dann wäre vieles verständlicher!
aber auf den trifft wohl eher zu:
> Weil Mathematiker die Verallgemeinerung moegen, ...
Vielen, vielen Dank.
MfG barsch
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