Max.-Likelihoood-Schätzung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 So 05.07.2009 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | Die Schaltrelais einer Produktionsserie werden kurzzeitigen Belastungen ausgesetzt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein ein Relais der Serie eine Einzelbelastung nicht übersteht, sei p(0<p<1). Die Lebensdauer X eines Relais sei die Anzahl der überstandenen Belastungen. Die Untersuchung von 8 Relais der Serie ergab folgende Lebensdauer Werte:
120, 40, 10, 60, 10, 30, 20, 0
Man gebe eine Max. - Likelihood Schätzung für p an unter der Annahm, dass P(X=k) = [mm] p(1-p)^{k} [/mm] (geometrische Verteilung). |
hallo.
mich würde mal interessieren, ob dieser rechenweg von mir stimmt:
X = X1, ..., Xn
P(X=k) = [mm] p*(1-p)^{k}
[/mm]
Dichte: f(k) = F'(k) = [mm] p*k*(1-p)^{(k-1)}
[/mm]
k1, ..., kn:
L(k1, ..., kn; p) = [mm] p*k1*(1-p)^{k1-1} [/mm] * ... * [mm] p*kn*(1-p)^{kn-1} [/mm] =
= p*k1* ... * kn * [mm] (1-p)^{(k1+...+kn+n)}
[/mm]
logarithmieren:
Ln L = ln p + ln(k1*...*kn) + (k1+...+kn+n) * ln(1-p)
(ln L)' = 0 setzen:
[mm] \bruch{1}{p} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1-p} [/mm] * (k1+...+kn+n) = 0
[mm] \bruch{1}{1-p}*(k1+...+kn+n) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{p}
[/mm]
(k1+....+kn+n) = - [mm] \bruch{1-p}{p}
[/mm]
p= [mm] -\bruch{1}{k1+...+kn+n}
[/mm]
und jetzt noch für k1 = 120, k2 = 40, ... usw. einsetzen und ich bekommme p raus. hab ich richtig gerechnet?
danke shconmal für die antworT!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 So 05.07.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Torboe,
Irgendwie ist der Wurm in deiner Rechnung. Fuer gegebene Beobachtungen
[mm] $k_1,\dots,k_n$ [/mm] lautet die Likelihoodfunktion
[mm] $L(p)=\prod_{i=1}^nf(k_i)=\prod_{i=1}^np(1-p)^{k_i}=p^n(1-p)^{\sum_{i=1}^nk_i}$
[/mm]
und folglich [mm] $\ln L(p)=n\ln [/mm] p+ [mm] \ln(1-p)\sum_{i=1}^nk_i$ \ldots
[/mm]
vg Luis
PS: Bitte erstelle deine Anfragen mit etwas mehr Sorgfalt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 05.07.2009 | | Autor: | Torboe |
ok. vielen dank erstmal!! hat mir schonmal sehr geholfen!
wenn ich dann die aufgabe weitermache, muss ich dann schon ln L nach p ableiten, wie gewohnt? Sprich: [mm] \bruch{d}{dp} [/mm] ln L = 0.
[mm] \Rightarrow n*\bruch{1}{p}+\bruch{1}{1-p}*(k_{1}+...+k_{2})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{1-p}k_{1}+...+k_{2}= -\bruch{n}{p} [/mm] : [mm] \bruch{1}{1-p}
[/mm]
[mm] \Rightarrow k_{1}+...+k_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{n*(1-p)}{p*1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow k_{1}+...+k_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{n-pn}{p}
[/mm]
weiter komm ich leider nicht... . wie formt das weiter um?
aber zunächst mal, stimmt der weitere lösungsweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 So 05.07.2009 | | Autor: | luis52 |
> ok. vielen dank erstmal!! hat mir schonmal sehr geholfen!
Gerne.
>
> wenn ich dann die aufgabe weitermache, muss ich dann schon
> ln L nach p ableiten, wie gewohnt? Sprich: [mm]\bruch{d}{dp}[/mm] ln
> L = 0.
>
> [mm]\Rightarrow n*\bruch{1}{p}+\bruch{1}{1-p}*(k_{1}+...+k_{2})=0[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Und wo bitte ist die innere Ableitung?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 So 05.07.2009 | | Autor: | Torboe |
abermals danke... . jaja wiedermal die sorgfalt.
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