Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
moin,
Da ich morgen eine Klausur (u.a. über Matrizen) schreibe wäre es nett wenn einer von euch Experten einmal gucken könnte ob ich alles richtig im Kopf habe:
(Im nachfolgenden alle Matrizen über einem Körper und quadratisch)
äquivalente Matrizen
Zwei Matrizen A,B sind äquivalent genau dann wenn es zwei invertierbare Matrizen S,T gibt mit A = SBT.
Zwei Matrizen sind äquivalent genau dann wenn sie den selben Rang haben; gibts noch mehr was bei äquivalenten Matrizen übereinstimmt?
ähnliche Matrizen
Zwei Matrizen A,B sind ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix U gibt mit $A = [mm] UBU^{-1}$
[/mm]
Gibt es ein (schönes) Verfahren um zwei Matrizen auf Ähnlichkeit zu überprüfen/das U zu finden?
(wegen des Wiki-Artikels dazu: Minimalpolynom, Jordan-Normalform und charakteristische Matrix hatten wir - noch - nicht, weshalb wir die wohl auch dafür nicht benutzen werden dürfen...)
diagonalisierbare Matrizen
Eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.
Hier kann man das U ermitteln, indem man die Basen der einzelnen Eigenräume von A als Spalten in eine Matrix schreibt.
Es sind alle hermite'schen (im komplexen) bzw. symetrischen (im reelen) Matrizen diagonalisierbar.
Weiterhin ist eine $n [mm] \times [/mm] n$ Matrix diagonalisierbar, wenn die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich n ist.
Stimmt das alles soweit?
Hab ich was wichtiges vergessen/ist irgendwas viel zu kompliziert?
Ich bedanke mich schonmal für alle Tipps und Hilfe. ;)
|
|
| |
|
Hallo,
> äquivalente Matrizen
> Zwei Matrizen A,B sind äquivalent genau dann wenn es zwei
> invertierbare Matrizen S,T gibt mit A = SBT.
Ja.
> Zwei Matrizen sind äquivalent genau dann wenn sie den
> selben Rang haben;
Ja.
> gibts noch mehr was bei äquivalenten
> Matrizen übereinstimmt?
Ich weiß jedenfalls nichts.
>
> ähnliche Matrizen
> Zwei Matrizen A,B sind ähnlich, wenn es eine
> invertierbare Matrix U gibt mit [mm]A = UBU^{-1}[/mm]
Ja.
> Gibt es ein
> (schönes) Verfahren um zwei Matrizen auf Ähnlichkeit zu
> überprüfen/das U zu finden?
> (wegen des Wiki-Artikels dazu: Minimalpolynom,
> Jordan-Normalform und charakteristische Matrix hatten wir -
> noch - nicht, weshalb wir die wohl auch dafür nicht
> benutzen werden dürfen...)
Hm.
Hilfreich mag sein, wenn man weiß, daß ähnliche Matrizen dieselbe lineare Abbildung darstellen, bloß bzgl verschiedener Basen.
Wenn Du erkennst, daß eine 2x2-Matrix, die Dir vorliegt, eine Spiegelung ist und Du dazu die Matrix [mm] pmat{1&0\\0&-1} [/mm] hast, dann weißt Du, daß sie äquivalent sind.
Zum Ausschluß der Ähnlichkeit kann dienen, daß aus Ähnlichkeit folgt
gleicher Rang,
gleiche Determinante,
gleiche Spur,
gleiches charakteristisches Polynom,
gleiches Minimalpolynom.
>
> diagonalisierbare Matrizen
> Eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu
> einer Diagonalmatrix ist.
Ja.
> Hier kann man das U ermitteln, indem man die Basen der
> einzelnen Eigenräume von A als Spalten in eine Matrix
> schreibt.
Ja.
> Es sind alle hermite'schen (im komplexen) bzw.
> symetrischen (im reelen) Matrizen diagonalisierbar.
Ja.
Und zwar beide mit reellen Eigenwerten!
> Weiterhin ist eine [mm]n \times n[/mm] Matrix diagonalisierbar,
> wenn die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich n
> ist.
Ja.
>
> Stimmt das alles soweit?
Ja.
> Hab ich was wichtiges vergessen
Bestimmt.
> /ist irgendwas viel zu
> kompliziert?
Nein.
Gruß v. Angela
>
> Ich bedanke mich schonmal für alle Tipps und Hilfe. ;)
|
|
|
|
