Lösung inhomogene DGL 1.Ordnun < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | y'-(2cos x)y=cos x |
Hallo!
Ich suche den Lösungsweg für die o.g. DGL. Sie soll mittels Variation der Konstanten gelöst werden (es ist eine Aufgabe aus dem Papula). An für sich ist es mir klar, wie es funktioniert, nur beim letzten Schritt, der Integration von K'(x) scheitert es:
y'-(2cos x)y=cos x
Homogene Lösung (stimmt mit Papula auch überein):
[mm] y_{h}=Ce^{2sin(x)}
[/mm]
Nun gehts weiter mit der Variation der Konstanten:
[mm] y=K(x)e^{2sin(x)}
[/mm]
[mm] y'=K'(x)e^{2sin(x)}+2K(x)(cos x)e^{2sin(x)}
[/mm]
Eingesetzt in DGL:
[mm] K'(x)e^{2sin(x)}+2K(x)(cos x)e^{2sin(x)}- [/mm] (2 cos x) [mm] K(x)e^{2sin(x)}= [/mm] cos x
Die K(x)-Terme heben sich auch wie sie sollen auf:
[mm] K'(x)e^{2sin(x)}= [/mm] cos x
[mm] K'(x)=\bruch{cos x}{e^{2sin(x)}}
[/mm]
und jetzt kommt das Problem:
[mm] K(x)=\integral_{}^{}{\bruch{cos x}{e^{2sin(x)}} dx}
[/mm]
Ich weiss keinen Weg diesen Term zu integrieren.
Die Lösung des DGLs soll sein:
[mm] y=Ce^{2sin(x)}-0.5
[/mm]
Bin für Hinweise dankbar!
Gruss
Thomas
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Hallo Dark.Rider,
> y'-(2cos x)y=cos x
> Hallo!
>
> Ich suche den Lösungsweg für die o.g. DGL. Sie soll
> mittels Variation der Konstanten gelöst werden (es ist
> eine Aufgabe aus dem Papula). An für sich ist es mir klar,
> wie es funktioniert, nur beim letzten Schritt, der
> Integration von K'(x) scheitert es:
>
> y'-(2cos x)y=cos x
>
> Homogene Lösung (stimmt mit Papula auch überein):
> [mm]y_{h}=Ce^{2sin(x)}[/mm]
>
> Nun gehts weiter mit der Variation der Konstanten:
>
> [mm]y=K(x)e^{2sin(x)}[/mm]
> [mm]y'=K'(x)e^{2sin(x)}+2K(x)(cos x)e^{2sin(x)}[/mm]
>
> Eingesetzt in DGL:
>
> [mm]K'(x)e^{2sin(x)}+2K(x)(cos x)e^{2sin(x)}-[/mm] (2 cos x)
> [mm]K(x)e^{2sin(x)}=[/mm] cos x
>
> Die K(x)-Terme heben sich auch wie sie sollen auf:
>
> [mm]K'(x)e^{2sin(x)}=[/mm] cos x
>
> [mm]K'(x)=\bruch{cos x}{e^{2sin(x)}}[/mm]
>
> und jetzt kommt das Problem:
>
> [mm]K(x)=\integral_{}^{}{\bruch{cos x}{e^{2sin(x)}} dx}[/mm]
>
> Ich weiss keinen Weg diesen Term zu integrieren.
Substituiere [mm]z=2*\sin\left(x\right)[/mm]
>
> Die Lösung des DGLs soll sein:
>
> [mm]y=Ce^{2sin(x)}-0.5[/mm]
>
> Bin für Hinweise dankbar!
>
> Gruss
> Thomas
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Dark.Rider |
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Sa 02.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
substituiere in deinem integral sinx=u du=cosx dx
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Dark.Rider |
Danke auch :)
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