Lösen eines inh. Systems < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Finden Sie die allg. Lösung des Systems
[mm] \vektor{x'\\y'} [/mm] = [mm] \pmat{-t && t+1 \\ t+1 && -t} \vektor{x\\y} [/mm] + [mm] \vektor{e^t-2t-1\\e^t+2t+1}
[/mm]
Benutzen Sie den Ansatz x = y um eine Lösung des hom. Systems zu finden. |
Hallo,
versuche gerade die obige Aufgabe zu lösen und komme an einer Stelle nicht weiter.
Zuerst soll man ja das homogene System lösen, bzw. das Fundamentalsystem bestimmen.
[mm] \vektor{x'\\y'} [/mm] = [mm] \pmat{-t && t+1 \\ t+1 && -t} \vektor{x\\y}
[/mm]
ich bin nun durch den Hinweis (x=y) auf folgende Lösung gekommen:
[mm] \vektor{x\\y} [/mm] = [mm] c_1 \vektor{e^t\\e^t} (c_1 \in \IR)
[/mm]
Dies ist ja noch nicht die einzige Lösung, oder? Wie kann ich jetzt weitermachen? Habe es mit dem Reduktionsverfahren von d'Alembert versucht mit dem Ansatz
[mm] \vektor{0\\z_2 '} [/mm] = [mm] \phi'(t)\vektor{e^t\\e^t}+\pmat{-t && t+1 \\ t+1 && -t} \vektor{0\\z_2}
[/mm]
und kam auf [mm] z_2 [/mm] = [mm] c_2 e^{t-t^2} (c_2 \in \IR)
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig? Wenn ja, wie bestimme ich das Fundamentalsystem?
Viele Grüße, Gratwanderer
|
|
| |
|
Hallo Gratwanderer,
> Finden Sie die allg. Lösung des Systems
>
> [mm]\vektor{x'\\y'}[/mm] = [mm]\pmat{-t && t+1 \\ t+1 && -t} \vektor{x\\y}[/mm]
> + [mm]\vektor{e^t-2t-1\\e^t+2t+1}[/mm]
>
> Benutzen Sie den Ansatz x = y um eine Lösung des hom.
> Systems zu finden.
>
> Hallo,
>
> versuche gerade die obige Aufgabe zu lösen und komme an
> einer Stelle nicht weiter.
>
> Zuerst soll man ja das homogene System lösen, bzw. das
> Fundamentalsystem bestimmen.
>
> [mm]\vektor{x'\\y'}[/mm] = [mm]\pmat{-t && t+1 \\ t+1 && -t} \vektor{x\\y}[/mm]
>
> ich bin nun durch den Hinweis (x=y) auf folgende Lösung
> gekommen:
>
> [mm]\vektor{x\\y}[/mm] = [mm]c_1 \vektor{e^t\\e^t} (c_1 \in \IR)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dies ist ja noch nicht die einzige Lösung, oder? Wie kann
Ja, es gibt noch eine Lösung des homogenen Systems.
> ich jetzt weitermachen? Habe es mit dem Reduktionsverfahren
> von d'Alembert versucht mit dem Ansatz
>
> [mm]\vektor{0\\z_2 '}[/mm] = [mm]\phi'(t)\vektor{e^t\\e^t}+\pmat{-t && t+1 \\ t+1 && -t} \vektor{0\\z_2}[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\vektor{0\\z_2 '}[/mm] = [mm] \blue{-}[/mm] [mm]\phi'(t)\vektor{e^t\\e^t}+\pmat{-t && t+1 \\ t+1 && -t} \vektor{0\\z_2}[/mm]
>
> und kam auf [mm]z_2[/mm] = [mm]c_2 e^{t-t^2} (c_2 \in \IR)[/mm]
>
> Ist das bis hierhin richtig? Wenn ja, wie bestimme ich das
> Fundamentalsystem?
Nun, dann musst Du erstmal [mm]\phi\left(t\right)[/mm] bestimmen.
Mit [mm]z_{2}\left(t\right)[/mm] und [mm]\phi\left(t\right)[/mm]
bekommst Du die zweite Lösung.
>
> Viele Grüße, Gratwanderer
Gruss
MathePower
|
|
|
|
