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Forum "Lineare Abbildungen" - Lineare Selbstabbildung im R2
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Lineare Selbstabbildung im R2: Bitte um Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 So 30.01.2011
Autor: tomtom10

Aufgabe
Die lineare Selbstabbildung [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^2 \mapsto \IR^2 [/mm] bilde die kanonischen Basisvektoren in folgender Weise ab:

[mm] \gamma [/mm] (e1) = 3e1 - 2e2
[mm] \gamma [/mm] (e2) = -2e1 + e2

Geben Sie die Matrix M an, die der Abbildung hinsichtlich der kanonischen Basis zugeordnet ist. Ist die Abbildung [mm] \gamma [/mm] bijektiv ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



[mm] M=\pmat{ 3 & -2 \\ -2 & 1 } [/mm] (?)

Reicht die Begründung aus, dass det(M) [mm] \not=0 [/mm] ist, um Bijektivität zu beweisen ?

        
Bezug
Lineare Selbstabbildung im R2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 So 30.01.2011
Autor: skoopa


> Die lineare Selbstabbildung [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^2 \mapsto \IR^2[/mm]
> bilde die kanonischen Basisvektoren in folgender Weise ab:
>  
> [mm]\gamma[/mm] (e1) = 3e1 - 2e2
>  [mm]\gamma[/mm] (e2) = -2e1 + e2
>  
> Geben Sie die Matrix M an, die der Abbildung hinsichtlich
> der kanonischen Basis zugeordnet ist. Ist die Abbildung
> [mm]\gamma[/mm] bijektiv ?
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
>
> [mm]M=\pmat{ 3 & -2 \\ -2 & 1 }[/mm] (?)
>  
> Reicht die Begründung aus, dass det(M) [mm]\not=0[/mm] ist, um
> Bijektivität zu beweisen ?

Ja das reicht. Da der [mm] \IR^2 [/mm] endlichdimensional ist und [mm] \gamma [/mm] ein Endomorphismus ist, sind Surjektivität und Bijektivität äquivalent.

Grüße!
skoopa

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