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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lineare DGL
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Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Mi 24.11.2010
Autor: Ice-Man

Hallo,

ich habe da mal noch eine Frage.

Ich wollte diese lineare DGL lösen,

y'+xy=4x

[mm] \bruch{dy}{y}=-xdx [/mm]

[mm] y=e^{-\bruch{x^{2}}{2}}+C [/mm]

[mm] y'=-xe^{-\bruch{x^{2}}{2}} [/mm] (Die Konstante fällt ja bei der Ableitung jetzt weg?)

Das setze ich ja jetzt ein...

[mm] -xe^{-\bruch{x^{2}}{2}}+x(e^{-\bruch{-x^{2}}{2}}+C)=4x [/mm]

C=4

Wäre das richtig?

Wenn ja, was wäre dann der nächste Schritt?

Danke

        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Mi 24.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Ice-Man,

> Hallo,
>  
> ich habe da mal noch eine Frage.
>  
> Ich wollte diese lineare DGL lösen,
>  
> y'+xy=4x
>  
> [mm]\bruch{dy}{y}=-xdx[/mm]
>  
> [mm]y=e^{-\bruch{x^{2}}{2}}+C[/mm]


Diese Lösung stimmt nicht.

Diese muß lauten: [mm]y\left(x\right)=C*e^{-x^{2}/2}[/mm]


>  
> [mm]y'=-xe^{-\bruch{x^{2}}{2}}[/mm] (Die Konstante fällt ja bei der
> Ableitung jetzt weg?)
>  
> Das setze ich ja jetzt ein...
>  
> [mm]-xe^{-\bruch{x^{2}}{2}}+x(e^{-\bruch{-x^{2}}{2}}+C)=4x[/mm]
>  
> C=4
>  
> Wäre das richtig?
>  
> Wenn ja, was wäre dann der nächste Schritt?
>  
> Danke


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Mi 24.11.2010
Autor: Ice-Man

also wenn ich ln auflöse, dann muss ich "mal rechnen"?

[mm] ln|y|=-\bruch{1}{2}x^{2}+C [/mm]

[mm] y=e^{-\bruch{x^{2}}{2}}*C [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Mi 24.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Ice-Man,

> also wenn ich ln auflöse, dann muss ich "mal rechnen"?
>  
> [mm]ln|y|=-\bruch{1}{2}x^{2}+C[/mm]


Wenn Du jetzt auf beiden Seiten die Umkehrfunktion des ln anwendest.
dann steht zunächst da:

[mm]e^{\ln\vmat{y}}=e^{-\bruch{1}{2}x^{2}+C}[/mm]

Und das ist nach den Potenzgesetzen;

[mm]e^{\ln\vmat{y}}=e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}*e^{C}[/mm]


>  
> [mm]y=e^{-\bruch{x^{2}}{2}}*C[/mm]  


Gruss
MathePower


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