Lebesgue Räume < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Britta_L |
| Aufgabe | | Für welche p liegt [mm] (1/(1+x^2))^{1/6} [/mm] in [mm] L^p? [/mm] |
Hallo,
ich versuche gerade ein Prüfungsprotokoll zur Funk-Anna zu bearabeiten.
Ich habe dabei Probleme mit den Lebesgue Räumen.
Vielen Dank.
Britta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Fr 04.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Die Frage lautet also für welche p aus [mm] \IN [/mm] ?? oder [mm] \IR
[/mm]
ist wegen Symmetrie
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x^2)^\bruch{p}{6}} dx} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
für p [mm] \ge [/mm] 6 gilt die Abschätzung
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x^2)^\bruch{p}{6}} dx} \le \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x^2)} dx} [/mm] = [mm] arctan(x)|^{\infty}_{0} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
für p [mm] \le [/mm] 3
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x^2)^\bruch{p}{6}} dx} \ge \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x^2)^\bruch{1}{2}} dx} [/mm] = [mm] sinh(x)|^{\infty}_{0} [/mm] - divergent...
Bleibt also nur mehr die Fälle p zwischen drei und sechs zu untersuchen und da kommt dan die hypergeometrischen Funktionen ins Spiel.....
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Müsste nicht noch erwähnt werden, über welche Grundgesamtheit integriert werden soll? Es macht doch einen Unterschied, ob ich über das beschränkte Intervall [0,1] oder gleich über [mm]\IR[/mm] gehe.
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