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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Seien $f\in\mathcal{L}^1(\mathbb{R,C}):=\{g:\mathbb{R\to C}|Re\; g \;Im\; g\in\mathcal{L}^1(\mathbb{R}\}.$ Zu $k\in\mathbb{N}_0$ definieren wir $$g:\mathbb{R\to C}, \quad \xi\mapsto \int_{\mathbb{R}}{\frac{f(x)}{(1+|x|^k)}e^{ix\xi}\;dx.$$
Zeigen Sie:
a) $g$ ist wohldefiniert.
b) Es gilt g\in\mathcal{C}^k(\mathbb{R,C}). |
Guten Tag,
ich muss diese Aufgabe bearbeiten, habe jedoch leider so meine Probleme.
Ich weiß nicht wie ich anfangen soll und würde mich sehr über Hilfe freuen.
Liebe Grüße
Dudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:41 Mi 30.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]$f\in\mathcal{L}^1(\mathbb{R,C}):=\{g:\mathbb{R\to C}|Re\; g \;Im\; g\in\mathcal{L}^1(\mathbb{R}\}.$[/mm]
> Zu [mm]$k\in\mathbb{N}_0$[/mm] definieren wir [mm]g:\mathbb{R\to C}, \quad \xi\mapsto \int_{\mathbb{R}}{\frac{f(x)}{(1+|x|^k)}e^{ix\xi}\;dx.[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> a) [mm]g[/mm] ist wohldefiniert.
> b) Es gilt [mm]g\in\mathcal{C}^k(\mathbb{R,C}).[/mm]
> Guten Tag,
>
> ich muss diese Aufgabe bearbeiten, habe jedoch leider so
> meine Probleme.
> Ich weiß nicht wie ich anfangen soll und würde mich sehr
> über Hilfe freuen.
Wegen [mm] |\frac{f(x)}{(1+|x|^k)}e^{ix\xi}| \le [/mm] |f(x)| ist f [mm] \in L^1
[/mm]
Was die Eigenschaften von g angeht: google mal "Fouriertransformation"
FRED
>
> Liebe Grüße
> Dudi
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