Hallo!
Ich bin mir nicht so ganz sicher, ob das hier immer noch Funktionentheorie ist. Notfalls möge man diese Frage bitte verschieben.
Also, meine Aufgabe lautet:
Es seien [mm] G\subset\IR^2 [/mm] ein Gebiet mit glattem Rand, [mm] u\in C^2(G) [/mm] und [mm] g\in C(\partial [/mm] G). Zeige: u erfüllt
[mm] \Delta [/mm] u=0 in G, u=g auf [mm] \partial [/mm] G
genau dann, wenn [mm] D(u)\le [/mm] D(v) für alle [mm] v\in C^2(G) [/mm] mit v=g auf [mm] \partial [/mm] G. Hierbei ist [mm] D(v):=\integral_{G}\{(\bruch{\partial{v}}{\partial{x}})^2+(\bruch{\partial{v}}{\partial{y}})^2\}\;dx\;dy.
[/mm]
Hinweis: Betrachte [mm] \lim_{\varepsilon\to 0}\{D(u+\varepsilon\varphi)-D(u)\}/\varepsilon [/mm] für alle [mm] \varphi\in C^2(G) [/mm] mit [mm] \varphi [/mm] =0 auf [mm] \partial{G}.
[/mm]
Hierzu direkt mal eine Frage:
Soll [mm] \{D(u+\varepsilon\varphi)-D(u)\}/\varepsilon [/mm] ein Bruch sein? Es stehen auf den Übungszetteln öfter Brüche so komisch geschrieben...
Und wie beweise ich das? Welche Sätze oder ähnliches könnte ich hier benutzen?
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