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Hallo,
es geht um Landau Symbole für Funktionen f, g: A [mm] \to \IC, [/mm] wobei A [mm] \subset \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] ist. Sei [mm] z_0 [/mm] ein Häufungspunkt von A.
Behauptung: o(f) [mm] \subset [/mm] O(f) für z [mm] \to z_0
[/mm]
Beweis:
Sei g = o(f).
[mm] \Rightarrow [/mm] lim [mm] \bruch{g(z)}{f(z)} [/mm] = 0 für z [mm] \to z_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{g}{f} [/mm] in einer Umgebung von [mm] z_0 [/mm] beschränkt
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] M [mm] \ge [/mm] 0: [mm] |\bruch{g(z)}{f(z)}| \le [/mm] M für z [mm] \to z_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |g(z)| [mm] \le [/mm] M|f(z)| für z [mm] \to z_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g = O(f) für z [mm] \to z_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:57 Mi 30.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> es geht um Landau Symbole für Funktionen f, g: A [mm]\to \IC,[/mm]
> wobei A [mm]\subset \IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm] ist. Sei [mm]z_0[/mm] ein
> Häufungspunkt von A.
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> Behauptung: o(f) [mm]\subset[/mm] O(f) für z [mm]\to z_0[/mm]
>
> Beweis:
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> Sei g = o(f).
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] lim [mm]\bruch{g(z)}{f(z)}[/mm] = 0 für z [mm]\to z_0[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \bruch{g}{f}[/mm] in einer Umgebung von [mm]z_0[/mm]
> beschränkt
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] M [mm]\ge[/mm] 0: [mm]|\bruch{g(z)}{f(z)}| \le[/mm] M
> für z [mm]\to z_0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] |g(z)| [mm]\le[/mm] M|f(z)| für z [mm]\to z_0[/mm]
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> [mm]\Rightarrow[/mm] g = O(f) für z [mm]\to z_0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Behauptung
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> Stimmt das so?
Ja, wenn Du g [mm] \in [/mm] o(f) bzw. g [mm] \in [/mm] O(f) schreibst.
FRED
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Hallo Fred,
ok, danke schön!
Gruss
Alexander
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