LR-Zerlegung und Spaltenpivot < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:34 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | | Gegeben A= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & \bruch{1}{4} & \bruch{-1}{4} \\ -4 & -2 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & \bruch{-3}{2} & \bruch{3}{2}}. [/mm] Das soll mit einer LR-Zerlegung und Spaltenpivotisierung gelöscht werden. |
Ich erhalte [mm] R=\pmat{-4 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2}, L=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ \bruch{-1}{4} & 1 & 0 & 0 \\ \bruch{-1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ \bruch{-1}{2} & \bruch{-1}{2} & \bruch{1}{2} & 1}, P=\pmat{0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0}. [/mm] Aber es gilt nicht L*R=P*A. Kann mir jemand sagen wo mein Rechenfehler ist? Um R zu erhalten habe ich zunächst
zeile 3 und 1 vertauscht.
Dann habe ich Zeile 2 + (1/4)*Zeile 1, Zeile 3 + (1/2)*Zeile 1, Zeile 4 + (1/2)*Zeile 1.
Danach Zeile 4 und 2 vertauschen.
Danach Zeile 4 + (1/2)*Zeile 2.
Danach Zeile 4 und 3 Vertauschen.
Danach Zeile 4 + (-1/2)*Zeile 3.
Entsprechend ergibt sich dann auch L und P.
Viele Grüße und vielen Dank im Voraus
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> Gegeben A= [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & \bruch{1}{4} & \bruch{-1}{4} \\
-4 & -2 & -1 & 1 \\
2 & 0 & \bruch{-3}{2} & \bruch{3}{2}}.[/mm]
> Das soll mit einer LR-Zerlegung und Spaltenpivotisierung
> gelöscht werden.
> Ich erhalte [mm]R=\pmat{-4 & -2 & -1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & 2 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2}, L=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\
\bruch{-1}{4} & 1 & 0 & 0 \\
\bruch{-1}{2} & 0 & 1 & 0 \\
\bruch{-1}{2} & \bruch{-1}{2} & \bruch{1}{2} & 1}, P=\pmat{0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0}.[/mm]
Das R ist richtig und dein P stimmt auch. Nur bei L erhalte ich etwas anderes:
Also
[mm]L:=\hat{L}_1^{-1}\hat{L}_2^{-1}\hat{L}_3^{-1}[/mm]
[mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
\tfrac{-1}{2} & 1 & 0 & 0 \\
\tfrac{-1}{4} & 0 & 1 & 0 \\
\tfrac{-1}{2} & 0 & 0 & 1\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \tfrac{-1}{2} & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \tfrac{1}{2} & 1\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]=L=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
\tfrac{-1}{2} & 1 & 0 & 0 \\
\tfrac{-1}{4} & \tfrac{-1}{2} & 1 & 0 \\
\tfrac{-1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 1\end {array} \right) [/mm]
Du hast vermutlich die Matrizen [mm] $L_i$ [/mm] nur miteinander multipliziert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Mo 26.11.2012 | | Autor: | wieschoo |
Wir wollen die LU-Faktorisierung mit Spaltenpivotisierung an der folgenden Matrix durchführen:
[mm]\left( \begin {array}{cccc}2 & 1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & \tfrac{1}{4} & \tfrac{-1}{4} \\
-4 & -2 & -1 & 1 \\
2 & 0 & \tfrac{-3}{2} & \tfrac{3}{2} \end {array} \right) [/mm]
1. Schritt
Wir betrachten die 4x4 Teilmatrix
Spaltenpivotisierung
Suchen das betragsgrößte Element in der Spalte 1. Dieses ist 4 und steht in der 3-ten Zeile.
Wir müssen einen Zeilentausch vornehmen und tauschen Zeile 1 gegen Zeile 3. Die neue Matrix sieht so aus:
Die Vertauschung kann man als Matrix oder als Vektor abspeichern.
Der Permutationsvektor sieht so aus . Man kann die Vertauschung auch als Matrix speichern: Diese sind dann so aus:
Gaußschen Multiplikatoren bestimmen
Diese werden allgemein durch die Formel [mm]l_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}}[/mm] berechnet. Konkret angewendet hier ergibt sich:
[mm]l_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1}{-4}=\tfrac{1}{-4} , [/mm] [mm]l_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{2}{-4}=\tfrac{1}{-2} , [/mm] [mm]l_{41}=\frac{a_{41}}{a_{11}}=\frac{2}{-4}=\tfrac{1}{-2} , [/mm]
Somit ergibt sich die Übergangsmatrix:
[mm]L_1=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
\tfrac{1}{4} & 1 & 0 & 0 \\
\tfrac{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\
\tfrac{1}{2} & 0 & 0 & 1\end {array} \right) [/mm]
2. Schritt
Wir betrachten die 3x3 Teilmatrix
Spaltenpivotisierung
Suchen das betragsgrößte Element in der Spalte 2. Dieses ist 1 und steht in der 4-ten Zeile.
Wir müssen einen Zeilentausch vornehmen und tauschen Zeile 2 gegen Zeile 4. Die neue Matrix sieht so aus:
Die Vertauschung kann man als Matrix oder als Vektor abspeichern.
Der Permutationsvektor sieht so aus . Man kann die Vertauschung auch als Matrix speichern: Diese sind dann so aus:
Gaußschen Multiplikatoren bestimmen
Diese werden allgemein durch die Formel [mm]l_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}}[/mm] berechnet. Konkret angewendet hier ergibt sich:
[mm]l_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{0}{-1}=\tfrac{0}{-1} , [/mm] [mm]l_{42}=\frac{a_{42}}{a_{22}}=\frac{\tfrac{1}{2} }{-1}, [/mm]
Somit ergibt sich die Übergangsmatrix:
[mm]L_2=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \tfrac{0}{-1} & 1 & 0 \\
0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 1\end {array} \right) [/mm]
3. Schritt
Wir betrachten die 2x2 Teilmatrix
Spaltenpivotisierung
Suchen das betragsgrößte Element in der Spalte 3. Dieses ist 1 und steht in der 4-ten Zeile.
Wir müssen einen Zeilentausch vornehmen und tauschen Zeile 3 gegen Zeile 4. Die neue Matrix sieht so aus:
Die Vertauschung kann man als Matrix oder als Vektor abspeichern.
Der Permutationsvektor sieht so aus . Man kann die Vertauschung auch als Matrix speichern: Diese sind dann so aus:
Gaußschen Multiplikatoren bestimmen
Diese werden allgemein durch die Formel [mm]l_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}}[/mm] berechnet. Konkret angewendet hier ergibt sich:
[mm]l_{43}=\frac{a_{43}}{a_{33}}=\frac{\tfrac{1}{-2} }{-1}, [/mm]
Somit ergibt sich die Übergangsmatrix:
[mm]L_3=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \tfrac{-1}{2} & 1\end {array} \right) [/mm]
Zusammenfassung
Wir erhalten die obere Dreiecksmatrix U
[mm]L_3\cdot{} P_3\cdot{} L_2\cdot{} P_2\cdot{} L_1\cdot{} P_1\cdot{} A^{(0)}=U[/mm]
und es ist
[mm]U=\left( \begin {array}{cccc}-4 & -2 & \tfrac{1}{-1} & 1 \\
0 & -1 & \tfrac{2}{-1} & 2 \\
0 & 0 & \tfrac{1}{-1} & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2\end {array} \right) [/mm]
Die Gaußumformungen sind in den folgenden Matrizen gespeichert:
[mm]L_{1}=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
\tfrac{1}{4} & 1 & 0 & 0 \\
\tfrac{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\
\tfrac{1}{2} & 0 & 0 & 1\end {array} \right) , [/mm][mm]L_{2}=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \tfrac{0}{-1} & 1 & 0 \\
0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 1\end {array} \right) , [/mm][mm]L_{3}=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \tfrac{-1}{2} & 1\end {array} \right) , [/mm]
Nun müssen wir noch die Gleichung in die Form PA=LU überführen. Dann geht so:
[mm]U=L_3P_3L_2P_2L_1P_1A[/mm]
Setze [mm]\hat{L}_{3}:=L_{3}[/mm] Dann ergibt sich:
[mm]U=\hat{L}_3P_3L_2P_3 P_3 P_2L_1P_1A[/mm]
Setze [mm]\hat{L}_{2}:=P_3 L_{2}P_3 [/mm] Dann ergibt sich:
[mm]U=\hat{L}_3\hat{L}_2P_{3}P_2L_1P_2 P_3 P_3 P_2 P_1A[/mm]
Setze [mm]\hat{L}_{1}:=P_3 P_2 L_{1}P_2 P_3 [/mm] Dann ergibt sich:
[mm]U=\hat{L}_3\hat{L}_2\hat{L}_1P_{3}P_{2}P_1A[/mm]
Setzen wir nun [mm]P:=P_3P_2P_1[/mm] Dann vereinfacht sich die Gleichung und wird zu:
[mm]U=\hat{L}_3\hat{L}_2\hat{L}_1P[/mm]
Durch das Invertieren der Matrizen mit den Gauß-Multiplikatoren erhalten wir sukzessive die gewünschte Form:
[mm](\hat{L}_3\hat{L}_2\hat{L}_1)^{-1}U=PA[/mm]
[mm]\hat{L}_1^{-1}\hat{L}_2^{-1}\hat{L}_3^{-1}U=PA[/mm]
Zusammengefasst mit [mm]L:=\hat{L}_1^{-1}\hat{L}_2^{-1}\hat{L}_3^{-1}[/mm]
[mm]LU=PA[/mm]
Wir berechnen jetzt noch P:
[mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1\end {array} \right) \;\;[/mm][mm] \qquad=\;\;\left( \begin {array}{cccc}0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0\end {array} \right) =P[/mm]
Zur Kontrolle noch die veränderten Matrizen mit den Gaußmultiplikatoren
[mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \tfrac{-1}{2} & 1\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \tfrac{-1}{2} & 1\end {array} \right) = \hat{L}_{3} \Rightarrow [/mm][mm]\hat{L}^{-1}_{3}=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \tfrac{1}{2} & 1\end {array} \right) [/mm]
[mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \tfrac{0}{-1} & 1 & 0 \\
0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 1\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \tfrac{1}{2} & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1\end {array} \right) = \hat{L}_{2} \Rightarrow [/mm][mm]\hat{L}^{-1}_{2}=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \tfrac{-1}{2} & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1\end {array} \right) [/mm]
[mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
\tfrac{1}{4} & 1 & 0 & 0 \\
\tfrac{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\
\tfrac{1}{2} & 0 & 0 & 1\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
\tfrac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\
\tfrac{1}{4} & 0 & 1 & 0 \\
\tfrac{1}{2} & 0 & 0 & 1\end {array} \right) = \hat{L}_{1} \Rightarrow [/mm][mm]\hat{L}^{-1}_{1}=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
\tfrac{-1}{2} & 1 & 0 & 0 \\
\tfrac{-1}{4} & 0 & 1 & 0 \\
\tfrac{-1}{2} & 0 & 0 & 1\end {array} \right) [/mm]
Also
[mm]L:=\hat{L}_1^{-1}\hat{L}_2^{-1}\hat{L}_3^{-1}[/mm]
[mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
\tfrac{-1}{2} & 1 & 0 & 0 \\
\tfrac{-1}{4} & 0 & 1 & 0 \\
\tfrac{-1}{2} & 0 & 0 & 1\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \tfrac{-1}{2} & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \tfrac{1}{2} & 1\end {array} \right) \;\;[/mm][mm]=L=\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
\tfrac{-1}{2} & 1 & 0 & 0 \\
\tfrac{-1}{4} & \tfrac{-1}{2} & 1 & 0 \\
\tfrac{-1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 1\end {array} \right) [/mm]
Fertig mit:
[mm]PA=LU[/mm]
[mm]\left( \begin {array}{cccc}0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0\end {array} \right) [/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}2 & 1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & \tfrac{1}{4} & \tfrac{-1}{4} \\
-4 & -2 & -1 & 1 \\
2 & 0 & \tfrac{-3}{2} & \tfrac{3}{2} \end {array} \right) =[/mm] [mm]\left( \begin {array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\
\tfrac{-1}{2} & 1 & 0 & 0 \\
\tfrac{-1}{4} & \tfrac{-1}{2} & 1 & 0 \\
\tfrac{-1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 1\end {array} \right) [/mm][mm]\left( \begin {array}{cccc}-4 & -2 & \tfrac{1}{-1} & 1 \\
0 & -1 & \tfrac{2}{-1} & 2 \\
0 & 0 & \tfrac{1}{-1} & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2\end {array} \right) [/mm]
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