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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Do 01.11.2007 | | Autor: | Echo |
| Aufgabe | Man gebe eine Basis des Lösungsraumes des folgenden homogenen Gleichungssystem an:
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] = 0
[mm] -x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] + [mm] 2x_4 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] = 0
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] - [mm] x_4 [/mm] =0
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 +2x_3 [/mm] - [mm] 2x_4 [/mm] - [mm] x_5 [/mm] =0
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Hallo!
Ich habe nun zunächst das LGS aufgelöst und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Nehmen wir mal an meine Lösung sei richtig,wie muss ich das denn nun als Ergebnis aufschreiben?
Vielen Dank für jegliche Hilfe!=)
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Hi, Echo,
> Man gebe eine Basis des Lösungsraumes des folgenden
> homogenen Gleichungssystem an:
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> [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] + [mm]x_4[/mm] + [mm]x_5[/mm] = 0
> [mm]-x_1[/mm] - [mm]2x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm] + [mm]2x_4[/mm] + [mm]x_5[/mm] = 0
> [mm]2x_1[/mm] + [mm]4x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] - [mm]x_4[/mm] =0
> [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2 +2x_3[/mm] - [mm]2x_4[/mm] - [mm]x_5[/mm] =0
>
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> Hallo!
>
> Ich habe nun zunächst das LGS aufgelöst und bin zu
> folgendem Ergebnis gekommen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
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> Nehmen wir mal an meine Lösung sei richtig,wie muss ich das
> denn nun als Ergebnis aufschreiben?
Ich rechne nicht nach, nehme an, Dein Ergebnis ist richtig!
Dann hast Du nun 3 Freiheitsgrade (nur noch 2 Gleichungen für 5 Unbekannte!)
Du kannst also z.B.
[mm] x_{5} [/mm] = [mm] \lambda,
[/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
und [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \nu
[/mm]
setzen und [mm] x_{2} [/mm] sowie [mm] x_{1} [/mm] in Abhängigkeit von diesen 3 Parametern berechnen.
Am Ende schreibst Du den Vektor
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}}
[/mm]
in der Form
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \lambda*\vec{a} [/mm] + [mm] \mu*\vec{b} [/mm] + [mm] \nu*\vec{c}
[/mm]
und Du hast die gesuchte Basis gefunden, nämlich die Vektoren
[mm] \vec{a}, \quad \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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