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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mo 06.02.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | (a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius R der Potenzreihe $f(x):= [mm] \summe_{n=2}^{\infty}n(n-1)*x^{n}$
[/mm]
(b) Gegen Sie einen geschlossenen Ausdruck (ohne Summensymbol) für die obengenannte Funktion [mm] $f:(-R,R)\to \IR$ [/mm] an.
Hinweis: Die zweite Ableitung einer bekannten Funktion hat eine sehr ähnliche Form wie unsere Reihe. |
Hallo.
Vorab habe ich ersteinmal eine Frage zur (a).
Und zwar: Wie berechnet man den Konvergenzradius ???
Also an sich ist es mir klar:
z.B.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{n}*x^{2n}
[/mm]
Also hier ist die Lösung:
[mm] (Quotientenkrit)=\bruch{n+1}{n}=1 [/mm] für [mm] n\to \infty
[/mm]
Jetzt ist meine Frage: Wieso übersieht man das x aus dieser Reihe. Müsste man es nicht miteinbeziehen, da ja der Konvergenzradius ja auch davon abhängt, wie "groß oder klein" x ist. Also, das kommt mir intuitiv so vor.
Aber wieso ist es bei dieser Aufgabe egal ???
Bedeutet dies, dass (a) folgendermaßen geht ?:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{ \bruch{(n+1)*n}{n*(n-1)} }=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{ \bruch{(n+1)}{(n-1)} }=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{ \bruch{1-1/n}{1+1/n} }= [/mm] 1.
Also wäre der Konvergenzradius der Reihe doch wohl 1.
Danke schon mal.
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Hallo!
> Wieso übersieht man das x aus dieser
> Reihe. Müsste man es nicht miteinbeziehen, da ja der
> Konvergenzradius ja auch davon abhängt, wie "groß oder
> klein" x ist. Also, das kommt mir intuitiv so vor.
> Aber wieso ist es bei dieser Aufgabe egal ???
Grundsätzlich sagt ja das Quotientenkriterium, dass [mm] $\summe_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] konvergiert, falls [mm] $\limsup\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$.
[/mm]
Betrachte nun die Potenzreihe [mm] $\summe_{n=0}^\infty b_nx^n$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $\limsup\left| \bruch{b_{n+1}x^{n+1}}{b_nx^n}\right|<1\ \Leftrightarrow\ |x|\limsup\left| \bruch{b_{n+1}}{b_n}\right|<1$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\ \limsup \left|\bruch{b_{n+1}}{b_n}\right|<\bruch [/mm] 1{|x|}$.
Deshalb setzt man den Konvergenzradius [mm] $R:=\left(\limsup \left|\bruch{b_{n+1}}{b_n}\right|\right)^{-1}$.
[/mm]
> Bedeutet dies, dass (a) folgendermaßen geht ?:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{ \bruch{(n+1)*n}{n*(n-1)} }=[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{ \bruch{(n+1)}{(n-1)} }=[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{ \bruch{1-1/n}{1+1/n} }=[/mm]
> 1.
> Also wäre der Konvergenzradius der Reihe doch wohl 1.
Das stimmt!
Nun zu b):
Betrachte doch mal die zweite Ableitung der Funktion [mm] $\bruch 1{1-q}=\summe_{n=0}^\infty q^n$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mo 06.02.2006 | | Autor: | DeusRa |
Aha, ok.
Dann ist bei (a) Der Konvergenzradius 1 für |x| [mm] \le [/mm] 1.
(b):
[mm] g(x):=\summe_{n=0}^{\intfy}q^{n}=\bruch{1}{1-q} \Rightarrow
[/mm]
[mm] g'(x):=\summe_{n=1}^{\intfy}n*q^{n-1}=\bruch{-1}{(1-q)²} \Rightarrow
[/mm]
[mm] g''(x):=\summe_{n=2}^{\intfy}n*(n-1)*q^{n}=\bruch{2}{(1-q)³} \Rightarrow
[/mm]
$f(x)=g''(x)$
Also ist [mm] $f(x)=\bruch{2}{(1-q)³}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Mo 06.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Rados
> Aha, ok.
> Dann ist bei (a) Der Konvergenzradius 1 für |x| [mm]\le[/mm] 1.
der zweite Teil |x| [mm]\le[/mm] 1 ist unnotig, denn Konvergenzradius 1 bedeutet genau dass die Reihe für |x| [mm]\le[/mm] 1 konvergiert.
> (b):
> [mm]g(x):=\summe_{n=0}^{\intfy}q^{n}=\bruch{1}{1-q} \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]g'(x):=\summe_{n=1}^{\intfy}n*q^{n-1}=\bruch{-1}{(1-q)²} \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]g''(x):=\summe_{n=2}^{\intfy}n*(n-1)*q^{n}=\bruch{2}{(1-q)³} \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]f(x)=g''(x)[/mm]
> Also ist [mm]f(x)=\bruch{2}{(1-q)³}[/mm]
richtig!
Gruss leduart
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