Konvergenz einer Reihe in C < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{i^k}{k} [/mm] konvergiert, aber nicht absolut. Berechnen sie den Grenzwert.
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Hallo alle Zusammen,
habe die Reihen der imaginär bzw. der realteile auf konvergenz untersucht. [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{(-1)^k}{2k} [/mm] entspricht der Summe der Realteile und konvergiert nach dem Leibnizkriterium und die Summe der Imaginärteile entsprechend auch. Daher müsste die gesamte Reihe konvergieren. Die entsprechende Betragsreihe konvergiert nicht, da es sich bei den Reihen um Harmonische Reihen handelt.
Ich habe mit Hilfe der arctan und der Ln-Reihe den Grenzwert berechnet und habe dafür -0,5*ln2 + i* [mm] \pi [/mm] /4 erhalten.
Es wäre toll, wenn jemand meine Ergebnisse überpfüfen würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{i^k}{k}[/mm]
> konvergiert, aber nicht absolut. Berechnen sie den
> Grenzwert.
>
> Hallo alle Zusammen,
> habe die Reihen der imaginär bzw. der realteile auf
> konvergenz untersucht. [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{(-1)^k}{2k}[/mm]
> entspricht der Summe der Realteile und konvergiert nach dem
> Leibnizkriterium und die Summe der Imaginärteile
> entsprechend auch. Daher müsste die gesamte Reihe
> konvergieren.
Genau.
> Die entsprechende Betragsreihe konvergiert
> nicht, da es sich bei den Reihen um Harmonische Reihen
> handelt.
Genau.
> Ich habe mit Hilfe der arctan und der Ln-Reihe den
> Grenzwert berechnet und habe dafür -0,5*ln2 + i* [mm]\pi[/mm] /4
> erhalten.
Laut MuPAD stimmt das.
LG Felix
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