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Konvergenz einer Folge: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:37 Mo 06.11.2006
Autor: uxo

Aufgabe
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+3)}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{n^3}{n^2-1} [/mm]

Hallo liebe Mitglieder!

Als zweites und letztes (versprochen!) soll ich nun obenstehende Folge auf Konvergenz und Monotonie untersuchen, und den Häufungspunkt angeben.
Dazu bin ich wie folgt vorgegangen:

Grenzwertberechnung:

[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+3)}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{n^3}{n^2-1} [/mm]

[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(n^2+2n-3)(n^2-1)-n^3(n+1)}{(n+1)(n^2-1)} [/mm]

[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^4-n^2+2n^3-2n-3n^2+3-n^4-n^3}{(n+1)(n^2-1)} [/mm]

[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^3-4n^2-2n+3}{n^3+n^2-n-1} [/mm]

[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1-\bruch{4}{n} - \bruch{2}{n^2} + \bruch{3}{n^3}}{1 + \bruch{1}{n} - \bruch{1}{n^2} - \bruch{1}{n^3}} [/mm]

Damit erhalte ich als Grenzwert:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 1

Die Monotonie zeige ich, indem ich annehme, daß [mm] a_n \le a_{n+1} [/mm] :

Zuerst partialzerlege ich den Bruch [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^3-4n^2-2n+3}{n^3+n^2-n-1} [/mm] und erhalte 1 - [mm] \bruch{5n-4}{n^2-1} [/mm]

1 - [mm] \bruch{5n-4}{n^2-1} \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{5n+1}{n^2+2n} [/mm]

[mm] (5n-4)(n^2+2n) \ge (5n+1)(n^2-1) [/mm]
[mm] 5n^3+10n^2-4n^2-8n \ge 5n^3-5n+n^2-1 [/mm]
[mm] 6n^2-8n \ge n^2-5n-1 [/mm]
[mm] 5n^2-3n \ge -1 [/mm]

Wenn ich diese Quadratische Ungleichung jetzt löse, erhalte ich für [mm] n_1 [/mm] ~ 6 und für [mm] n_2 [/mm] ~ -5.
Aber was sagt mir das jetz bez. der Monotonie?

Nicht viel besser ergeht es mir beim Versuch, die Konvergenz der Folge zu beweisen:

| [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \epsilon [/mm]

| 1 - [mm] \bruch{5n-4}{n^2-1} [/mm] - 1 | < [mm] \epsilon [/mm]

| - [mm] \bruch{5n-4}{n^2-1} [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm]

Für [mm] n > 1 [/mm] :

[mm] \bruch{5n-4}{n^2-1} < \epsilon [/mm]

[mm] \bruch{5-\bruch{4}{n}}{n-\bruch{1}{n}} < \epsilon [/mm]

[mm] 5 < \epsilon(n-\bruch{1}{n})+\bruch{4}{n} [/mm]

[mm] \bruch{5}{\epsilon} < n-\bruch{1}{n}+\bruch{4}{\epsilon n} [/mm]

[mm] \bruch{5}{\epsilon} < \bruch{1}{n}(n^2-1+\bruch{4}{\epsilon} [/mm]

Hier komme ich nicht mehr weiter.
Würde mich sehr über Eure Hilfe freuen,

liebe Grüße,
Thomas.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz einer Folge: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:16 Mo 06.11.2006
Autor: luis52

Hallo uxo,

warum kuerzt du nicht beim ersten Summand $(n+1)$ ?
Wenn ich mich nicht irre, erhaelt man so [mm] $a_n=(3n^2-n-3)/(n^2-1)$. [/mm]


hth


Bezug
        
Bezug
Konvergenz einer Folge: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Do 09.11.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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