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Hallo,
wie geht man denn bei so einer Folge vor bzgl. Konvergenz-Untersuchung?
[mm] (1+\bruch{1}{3n-2})^{9n-1}
[/mm]
mich irritiert das 9n-1 dabei.
Danke für Tipps,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Formen wir zunächst nach den  Potenzgesetzen um:
[mm] $$\left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{9n-1} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{9n-6+5} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{9n-6}*\left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{5} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{3*(3n-2)}*\left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{5} [/mm] \ = \ [mm] \left[\left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{3n-2}\right]^3*\left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{5}$$
[/mm]
Nun substituiere hier $k \ := \ 3n-2$ .
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
danke für Deine Antwort.
> [mm]\left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{9n-1} \ = \ \left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{9n-6+5} \ = \ \left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{9n-6}*\left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{5} \ = \ \left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{3*(3n-2)}*\left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{5} \ = \ \left[\left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{3n-2}\right]^3*\left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{5}[/mm]
>
> Nun substituiere hier [mm]k \ := \ 3n-2[/mm] .
[mm] ((1+\bruch{1}{k})^k)^3 [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{k})^5
[/mm]
= [mm] ((1+\bruch{1}{k})^{k+5})^3
[/mm]
= [mm] ((1+\bruch{1}{k})^{k+1+4})^3 [/mm]
= [mm] ((1+\bruch{1}{k})^{k+1})^3 [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{k})^4
[/mm]
Tja, nun hätte ich [mm] (1+\bruch{1}{k})^{k+1} [/mm] und das ist ja bekanntlich e.
Aber so richtig zeigen kann ich das noch nicht damit...vielleicht bin
ich ja auch ganz falsch.
Danke für weitere Tipps,
Anna
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hallo Anna,
man könnte wohl auch gleich von Anfang an den Nenner 3n-2 durch k ersetzen:
> > [mm]\left(1+\bruch{1}{3n-2}\right)^{9n-1} \ = \left( 1+\bruch{1}{k} \right) ^{3k+5} =\left( \left( 1+\bruch{1}{k} \right) ^{k}\right)^3 *\left(1+ \bruch{1}{k}\right)^5[/mm]
Dann den Limes für k [mm] \to \infty [/mm] bilden:
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \left(\left( \left( 1+\bruch{1}{k} \right) ^{k}\right)^3 *\left(1+ \bruch{1}{k}\right)^5\right) = e^3 * 1^5 = e^3[/mm]
Gruß al-Chwarizmi
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Hallo al-Chwarizmi,
wäre das so eigentlich auch richtig?
...
[mm] ((1+\bruch{1}{k})^k)^3 [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{k})^5
[/mm]
= [mm] ((1+\bruch{1}{k})^{k+5})^3
[/mm]
= [mm] ((1+\bruch{1}{k})^{k+1+4})^3
[/mm]
= [mm] ((1+\bruch{1}{k})^{k+1})^3 [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{k})^4
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}((1+\bruch{1}{k})^{k+1})^3 [/mm] = [mm] e^3
[/mm]
und
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}((1+\bruch{1}{k})^{k+1})^4 [/mm] = [mm] (1+0)^4 [/mm] = [mm] 1^4 [/mm] = 1
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] e^3*1^4=e^3
[/mm]
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Ich versteh nicht, warum du immer das $k \ [mm] \red{+1}$ [/mm] im Exponenten haben willst.
Die bekannte Folge, welche wir verwenden wollen, lautet:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ e$$
An Deinem Endergebnis ändert es ja nichts. Aber korrekt ist die Umwandlung bzw. die Anwendung des obigen Grenzwertes nicht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:43 Di 06.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Loddar,
Warum k+1? Weil im Script immer e in Bezug auf [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] gezeigt
wurde (oder zumindest kam es mir so vor).
Aber gut, jetzt weiß ich es besser! DANKE!
Gruß,
Anna
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