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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Di 01.06.2010 | | Autor: | dannyf86 |
| Aufgabe | | Überprüfe die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] |
Unser Professor hat uns die Lösung dieser Aufgabe gegeben, jedoch verstehe ich die einzelnen Schritte nicht.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}} \le \bruch{3}{2} [/mm] + [mm] \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{2*n^{n-2}}{n^{n}} \le [/mm] 2 [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] ist eine Majorante, die konvergiert, deswegen konvergiert auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}. [/mm]
Dies verstehe ich. Jedoch verstehe ich den schritt [mm] \le \bruch{3}{2} [/mm] + [mm] \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{2*n^{n-2}}{n^{n}} \le [/mm] 2 [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] nicht. wie kommt man darauf. gibt es vllt noch ein paar Zwischenschritte, die dies verdeutlichen?
Danke für eure Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Überprüfe die Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1!}{1^{1}} [/mm] + [mm] \bruch{2!}{2^{2}} [/mm] + [mm] \summe_{n=3}^{\infty}\bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{2}+ \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{2}+ \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{1*2*3*4*...*(n-1)*n}{n^{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{2}+ \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{2*3*4*...*(n-1)*n}{n^{n}}
[/mm]
[mm] \le \bruch{3}{2}+ \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{2*n*n*...*n*n}{n^{n}}
[/mm]
>= [mm] \bruch{3}{2} [/mm] + [mm] \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{2*n^{n-2}}{n^{n}}
[/mm]
> [mm] \le [/mm] 2 [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}[/mm]
Gruß v. Angela
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