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| Aufgabe | | Zeige: Wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergiert, so auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_{n}^{2}}{1+a_{n}^{2}} [/mm] . |
Irgendwie hab ich keine Idee, wie ich da ran gehen soll...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige: Wenn [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm] konvergiert, so auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_{n}^{2}}{1+a_{n}^{2}}[/mm] .
> Irgendwie hab ich keine Idee, wie ich da ran gehen
> soll...
die Aufgabenstellung ist falsch. Man braucht, dass [mm] $\sum a_n$ [/mm] absolut konvergiert oder, dass [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für fast alle [mm] $\,n\,$.
[/mm]
(Gegenbeispiel zu der Aufgabenstellung:
[mm] $a_n:=(-1)^n*\frac{1}{\sqrt{n}}$.
[/mm]
Dann ist [mm] $\sum a_n$ [/mm] nach Leibniz konvergent, aber [mm] $\sum \frac{a_n^2}{1+a_n^2}=\sum \frac{1/n}{1+1/n}=\sum\frac{1}{n+1}$ [/mm] divergent.)
Wenn aber [mm] $\sum a_n$ [/mm] absolut konvergiert:
Wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] ist, so benutze, dass [mm] $|a_n| [/mm] < 1$ für alle $n$ ab einem genügend großen $N$ ist und schätze das Restglied ab (bea.: $0 [mm] \le [/mm] |x| < 1 [mm] \Rightarrow x^2 \le [/mm] |x|$).
Rest folgt mit Majorantenkriterium.
Wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IC$ [/mm] ist, so geht es prinzipiell genauso, man bekommt dann [mm] $|1+a_n^2| \ge \frac{1}{2}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ mit einem genügend großen $N$ (weil [mm] $a_n \to [/mm] 0$).
Damit kann man in [mm] $\IC$ [/mm] sogar zeigen, dass dann [mm] $\sum \frac{a_n^2}{1+a_n^2}$ [/mm] absolut konvergiert (hierbei seien alle [mm] $a_n \not=\pm [/mm] i$).
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Sorry, ich habs falsch angegeben. [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] konvergiert natürlich absolut.
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Wie geh ich dann ran?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry, ich habs falsch angegeben. [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
> konvergiert natürlich absolut.
>
> Wie geh ich dann ran?
das steht bereits hier, also nochmal separat rauskopiert:
> Wenn aber $ [mm] \sum a_n [/mm] $ absolut konvergiert:
> Wenn $ [mm] (a_n)_n [/mm] $ eine Folge in $ [mm] \IR [/mm] $ ist, so benutze, dass $ [mm] |a_n| [/mm] < 1$
> für alle n ab einem genügend großen N ist
> und schätze das Restglied
> ab (bea.: $ 0 [mm] \le [/mm] |x| < 1 [mm] \Rightarrow x^2 \le [/mm] |x| $).
> Rest folgt mit Majorantenkriterium.
> Wenn $ [mm] (a_n)_n [/mm] $ eine Folge in $ [mm] \IC [/mm] $ ist, so geht es prinzipiell
> genauso, man bekommt dann $ [mm] |1+a_n^2| \ge \frac{1}{2} [/mm] $ für alle
> $ n [mm] \ge [/mm] N $ mit einem genügend großen N (weil $ [mm] a_n \to [/mm] 0 $).
> Damit kann man in $ [mm] \IC [/mm] $ sogar zeigen, dass dann $ [mm] \sum \frac{a_n^2}{1+a_n^2} [/mm] $
> absolut konvergiert (hierbei seien alle $ [mm] a_n \not=\pm [/mm] i $).
Ich habe sogar hinzugefügt, wie man es für eine komplexe Zahlenfolge zeigt, weil Du nicht angegeben hast, ob alle [mm] $a_n \in \IR$ [/mm] oder alle [mm] $a_n \in \IC$ [/mm] sein sollen.
Gruß,
Marcel
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