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| Aufgabe | Die Konjugationsklassen der Quaterionengruppe sind:
[1], [-1], [i,-i], [j,-j], [k,-k]. |
Für 1 und -1 sehe ich das, denn
[mm] G_1 [/mm] = [mm] (x\in [/mm] G| xg=g1 : fuer ein [mm] g\in [/mm] G) ´
= [mm] (x\in [/mm] G| [mm] x=g1g^{-1} [/mm] : fuer ein [mm] g\in [/mm] G)
= [mm] (x\in [/mm] G| [mm] x=gg^{-1} [/mm] : fuer ein [mm] g\in [/mm] G)
= [mm] (x\in [/mm] G| x=1 : fuer ein [mm] g\in [/mm] G)
[mm] G_{-1} [/mm] = [mm] (x\in [/mm] G| xg=g{-1} : fuer ein [mm] g\in [/mm] G)
= [mm] (x\in [/mm] G| [mm] x=-gg^{-1} [/mm] : fuer ein [mm] g\in [/mm] G)
= [mm] (x\in [/mm] G| [mm] x=(-1)gg^{-1} [/mm] : fuer ein [mm] g\in [/mm] G)
= [mm] (x\in [/mm] G| x=-1 : fuer ein [mm] g\in [/mm] G)
Aber wie für die anderen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Do 01.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Konjugationsklassen der Quaterionengruppe sind:
> [1], [-1], [i,-i], [j,-j], [k,-k].
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> Für 1 und -1 sehe ich das, denn
> [mm]G_1[/mm] = [mm](x\in[/mm] G| xg=g1 : fuer ein [mm]g\in[/mm] G) ´
> = [mm](x\in[/mm] G| [mm]x=g1g^{-1}[/mm] : fuer ein [mm]g\in[/mm] G)
> = [mm](x\in[/mm] G| [mm]x=gg^{-1}[/mm] : fuer ein [mm]g\in[/mm] G)
> = [mm](x\in[/mm] G| x=1 : fuer ein [mm]g\in[/mm] G)
>
> [mm]G_{-1}[/mm] = [mm](x\in[/mm] G| xg=g{-1} : fuer ein [mm]g\in[/mm] G)
> = [mm](x\in[/mm] G| [mm]x=-gg^{-1}[/mm] : fuer ein [mm]g\in[/mm] G)
> = [mm](x\in[/mm] G| [mm]x=(-1)gg^{-1}[/mm] : fuer ein [mm]g\in[/mm] G)
> = [mm](x\in[/mm] G| x=-1 : fuer ein [mm]g\in[/mm] G)
>
> Aber wie für die anderen?
Es gilt $i j k = -1$ und [mm] $i^2 [/mm] = [mm] j^2 [/mm] = [mm] k^2 [/mm] = -1$, und $i j = -j i$, $i k = -k i$, $j k = -k j$. Weiterhin gilt fuer $x [mm] \in \{ \pm i, \pm j, \pm k \}$, [/mm] das [mm] $x^{-1} [/mm] = -x$ ist.
Damit ist $i j [mm] i^{-1} [/mm] = -i j i = i i j = -j$, $i k [mm] i^{-1} [/mm] = -i k i = i i k = -k$, etc., womit du siehst dass die Konjugationsklassen mind. zwei Elemente haben.
Schauen wir uns mal $x i [mm] x^{-1}$ [/mm] an. Ist $x = [mm] \pm [/mm] 1$, so ist das Ergebnis gleich $i$. Ist $x [mm] \in \{ \pm i \}$, [/mm] so steht da [mm] $-i^3 [/mm] = i$. Ist schliesslich $x [mm] \in \{ \pm j, \pm k \}$ [/mm] sein, so ist $-x i x = x x i = -i$. Also ist $i$ nur zu sich selbst und $-i$ konjugiert.
Analog zeigst du das fuer $j$ und $k$.
LG Felix
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