Körpererweiterung isomorph < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Sind [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3}i)/\mathbb{Q} [/mm] und [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{3},i)/\mathbb{Q} [/mm] zueinander isomorph?
Hallo,
beides sind Körpererweiterungen vom Grad 4. Wenn ich nun von beiden Erweiterungen eine [mm] \mathbb{Q}-Basis [/mm] betrachte, und mir eine Abbildung von einer Basis zu der anderen bastele, dann bekomme ich die auf jeden Fall bijektiv hin. Allerdings ist die Frage, ob die Abbildung dann auch linear sein kann?
Das wiederum würde doch dann bedeuten, dass Körpererweiterungen über demselben Grundkörper vom selben Grad immer isomorph zueinander sind. Ist das so?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:55 Mi 06.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sind [mm]\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3}i)/\mathbb{Q}[/mm] und
> [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)/\mathbb{Q}[/mm] zueinander isomorph?
>
> Hallo,
>
> beides sind Körpererweiterungen vom Grad 4. Wenn ich nun
> von beiden Erweiterungen eine [mm]\mathbb{Q}-Basis[/mm] betrachte,
> und mir eine Abbildung von einer Basis zu der anderen
> bastele, dann bekomme ich die auf jeden Fall bijektiv hin.
> Allerdings ist die Frage, ob die Abbildung dann auch linear
> sein kann?
Klar gibt es eine lineare Abbildung (im Sinne von Vektorraeumen). Das sind aber i.A. keine Koerperhomomorphismen!
> Das wiederum würde doch dann bedeuten, dass
> Körpererweiterungen über demselben Grundkörper vom
> selben Grad immer isomorph zueinander sind. Ist das so?
Das ist eindeutig falsch.
Damit [mm] $\IQ(\sqrt[4]{3} [/mm] i)$ und [mm] $\IQ(\sqrt{3}, [/mm] i)$ zueinander isomorph sind, muss das MiPo von [mm] $\sqrt[4]{3} [/mm] i$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] eine Nullstelle in [mm] $\IQ(\sqrt{3}, [/mm] i)$ haben. Das kannst du ueberpruefen.
Alternativ kannst du schauen, ob die Koerpererweiterungen normal sind oder nicht.
LG Felix
|
|
|
|
