Kartenwechsel und Umkehrabbild < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien folgende Karten gegeben:
[mm] U_1^{+} = {a = (a^1,a^2,a^3) \in S^2 : a^1 > 0} \textnormal{ und } U_1^{-} = {a = (a^1,a^2,a^3) \in S^2 : a^1 < 0}
\textnormal{Sei } B^2:= ({\eta \in \IR^2 : \left| \left| \eta \right| \right| < 1}) \textnormal{ und seien } x_1^+ : U_1^+ \rightarrow B^2
\textnormal{ und } x_1^- : U_1^- \rightarrow B^2 \textnormal{ durch }
x_1^{\stackrel{+}{-}}(a) := (a^2,a^3)
\textnormal{Zeige, (a) dass die Tripel }(U_1^{\stackrel{+}{-}}, x_1^{\stackrel{+}{-}}, B^2)
\textnormal{einen Atlas A von }S^2 \textnormal{bilden und (b) dass die Kartenwechsel von A differenzierbar sind.} [/mm] |
Zu a: Mir ist klar, dass die beiden Karten einen minimalen Atlas von [mm] S^2 [/mm] bilden: Die Karten [mm]U_1^{\stackrel{+}{-}}[/mm] beinhaltet alle Punkte von [mm] S^2 [/mm] mit negative/positiven [mm]a_1[/mm] und beschreiben somit ganz [mm] S^2. [/mm] Weiterhin sind die Karten offen, da die a offene Teilmengen des [mm] R^3 [/mm] sind und die Einschränkung (das sind die Karten) der a auf [mm] S^2 [/mm] (Schnitt) mit der Relativtopologie auch offen sind
Zu b: Die Kartenwechsel sind definiert über:
[mm]x_1^{+} \circ (x_1^{-})^{-1} \textnormal{ und } x_1^{-} \circ (x_1^{+})^{-1} [/mm]
Mein konkretes Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie ich die Umkehrabbildungen [mm] (x_1^{+})^{-1} \textnormal{ und } (x_1^{-})^{-1} [/mm] angeben kann.
Wir haben ja die Abbildung [mm]x_1^{\stackrel{+}{-}} : U_1^{\stackrel{+}{-}} \rightarrow B^2 [/mm]
Die Umkehrabbildung ist ja bis auf eine Zahl nicht definiert. Wenn [mm] (\stackrel{+}{-} a^1,a^2,a^3) \in S^2 \rightarrow (a^2,a^3) \in B^2 [/mm] über [mm]x_1^{\stackrel{+}{-}}[/mm], dann ist ja die Information über [mm] a^1 [/mm] verloren. Wie kriegt man da jetzt wieder eine Bijektion hin, sodass die Abbildungen/Umkehrabbildungen stetig und bijektiv bleiben und damit der Homoömorphismus bestehen bleibt?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 06.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
