Kann ich kürzen? < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo alle miteinand!
Bin gerade auf folgede Funktion gestoßen:
lnU(x,y) = [mm] \alpha [/mm] ln x + [mm] \beta [/mm] ln y
Da habe ich mich gefragt, ob ich das Logarithmus nicht einfach wegkürzen kann, indem ich auf beiden Zeiten durch ln teile?
MfG
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> Hallo alle miteinand!
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> Bin gerade auf folgede Funktion gestoßen:
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> lnU(x,y) = [mm]\alpha[/mm] ln x + [mm]\beta[/mm] ln y
>
> Da habe ich mich gefragt, ob ich das Logarithmus nicht
> einfach wegkürzen kann, indem ich auf beiden Zeiten durch
> ln teile?
Um Himmels Willen: Nein !
ln ist nicht ein Faktor, mit dem multipliziert wird, sondern
eine Logarithmusfunktion. etwas deutlicher geschrieben
wäre deine Gleichung:
$\ [mm] ln\, [\, U(x,y)\, [/mm] ]\ = [mm] \alpha\,*\, ln\,[\,x\,]\ [/mm] +\ [mm] \beta\,*\, ln\,[\,y\,]$
[/mm]
Dabei stehen die eckigen Klammern für Funktionsklammern,
die das jeweilige Argument der ln-Funktion enthalten.
Du kannst die Gleichung mittels der  Logarithmusgesetze
umformen, also beispielsweise nach U(x,y) auflösen.
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 So 03.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Mit der "Bluntschen Kürzungsregel" wird die Mathematik ganz einfach. Z.B. ist jede Funktion injektiv !
Denn aus f(x)=f(y) folgt, wenn man f und die Klammern wegkürzt: x=y.
Donnerwetter !
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 So 03.08.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo alle miteinand!
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> Bin gerade auf folgede Funktion gestoßen:
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> lnU(x,y) = [mm]\alpha[/mm] ln x + [mm]\beta[/mm] ln y
>
> Da habe ich mich gefragt, ob ich das Logarithmus nicht
> einfach wegkürzen kann, indem ich auf beiden Zeiten durch
> ln teile?
Diese Formulierung suggeriert mir, dass du das Prinzip der Umkehrfunktion, die ich auf beiden Seiten einer Gleichung anwende, leider überhaupt nicht verstanden hast.
Erstens teilt man nicht beide Seiten durch den LN, sondern wendet ihn auf beide Seiten der Gleichung an.
Zweitens macht es hier keinen Sinn, da du dann eben nicht den Logarithmus verschwinden lässt.
Drittens müsstest du, um den ln wegzubekommen, beide Seiten in den Exponenten der e-Funktion nehmen,die Umkehrfunktion des ln ist die e-Funktion, das bedeutet, dass [mm] e^{\ln(x)}=x
[/mm]
>
> MfG
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 So 03.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo alle miteinand!
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> Bin gerade auf folgede Funktion gestoßen:
>
> lnU(x,y) = [mm]\alpha[/mm] ln x + [mm]\beta[/mm] ln y
>
> Da habe ich mich gefragt, ob ich das Logarithmus nicht
> einfach wegkürzen kann, indem ich auf beiden Zeiten durch
> ln teile?
>
Ja natürlich! Allerdings nur, wenn einige Voraussetzung erfüllt sind. nämlich
1) "lnU(x,y)" bedeutet für dich [mm] $\;ln*U(x,y)$
[/mm]
2) "ln x" bedeutet [mm] $\;ln*x$ [/mm] (analog für "ln y")
und ganz wichtig
3) "ln" kann nach 1) und 2) dann ja auch nicht mehr die Abkürzung für die Logarithmusfunktion zur Basis e sein, sondern ist ein gewöhnlicher, konstanter Faktor, von dir liebevoll "das Logarithmus" genannt.
Wenn die Voraussetzungen gegeben sind, dann darfst du kürzen.
Solltest du aber
[mm] $ln(U(x,y)=\alpha*ln(x)+\beta*ln(y)$
[/mm]
gemeint haben, dann lass bitte, bitte die Finger vom Kürzen!! Das wär wirklich ein ganz schlimmer und elementarer Fehler.
Schlag stattdessen lieber die Rechenregeln für Logarithmen nach, forme den Rechtsterm danach um und entlogarithmiere, um [mm]U(x,y)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zu erhalten.
Vielleicht hast du einmal eine Gleichung der Art
$\;ln(y)=ln(5+z)$
gesehen, welche nach
$\;y=5+z$
umgeformt wurde. Das sieht vielleicht auf den ersten Blick nach "Kürzen durch das Logarithmus" aus, ist es aber nicht. Vielmehr wird hier entlogarithmiert, d.h. auf beide Seiten der Gleichung wird die Exponentialfunktion zur Basis e angewandt (das Wort "exponentialisieren" gibts leider nicht). Es wird dann zunächst also
$\;e^{ln(y)}=e^{ln(5+z)}$
und weil $\;e^{(){$ die Umkehrfunktion von $\;ln()$ ist, gilt $\;e^{ln(x)}=x$ und somit "heben sich $\;e^{()}$ und $\;ln()$ quasi auf" und wir erhalten eben
$\;y=5+z$.
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 So 03.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielleicht hast du einmal eine Gleichung der Art
> [mm]\;ln(y)=ln(5+z)[/mm]
> gesehen, welche nach
> [mm]\;y=5+z[/mm]
> umgeformt wurde. Das sieht vielleicht auf den ersten Blick
> nach "Kürzen durch das Logarithmus" aus, ist es aber
> nicht. Vielmehr wird hier entlogarithmiert, d.h. auf beide
> Seiten der Gleichung wird die Exponentialfunktion zur Basis
> e angewandt (das Wort "exponentialisieren" gibts leider
> nicht).
es geht sogar mit weniger: Wenn man weiß, dass der [mm] $\ln$ [/mm] injektiv ist, folgt
aus [mm] $\ln(y)=\ln(5+z)$ [/mm] sofort [mm] $y=5+z\,.$ [/mm] (Ich gehe mal von $y > [mm] 0\,$ [/mm] und $z > [mm] -5\,$ [/mm] aus.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 So 03.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
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> es geht sogar mit weniger: Wenn man weiß, dass der [mm]\ln[/mm]
> injektiv ist, folgt
> aus [mm]\ln(y)=\ln(5+z)[/mm] sofort [mm]y=5+z\,.[/mm] (Ich gehe mal von [mm]y > 0\,[/mm]
> und [mm]z > -5\,[/mm] aus.)
>
Ja, stimmt. Wollen mal sehen, ob das jemand, der ln kürzen wollte, auch so sieht 
RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 So 03.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> >
> > es geht sogar mit weniger: Wenn man weiß, dass der [mm]\ln[/mm]
> > injektiv ist, folgt
> > aus [mm]\ln(y)=\ln(5+z)[/mm] sofort [mm]y=5+z\,.[/mm] (Ich gehe mal von
> [mm]y > 0\,[/mm]
> > und [mm]z > -5\,[/mm] aus.)
> >
> Ja, stimmt. Wollen mal sehen, ob das jemand, der ln kürzen
> wollte, auch so sieht
klar, der hat sich doch
[mm] $(\ln(x))'=1/x [/mm] > 0$ für $x > 0$
überlegt und daraus sofort gefolgert, dass [mm] $\ln$ [/mm] streng wächst und daher injektiv
sein muss. Ist doch klar, dass sowas überlegt wurde.
Aber mal im Ernst: Ich merke an solchen Fragen wirklich, dass der mich
ständig nervende Hinweis meines damaligen Mathelehrers [mm] "$f(x)\,$ [/mm] ist [mm] $f\,$ [/mm] ausgewertet
an der Stelle [mm] $x\,,$ [/mm] und nicht [mm] $f\,$ [/mm] mit [mm] $x\,$ [/mm] multipliziert" durchaus nicht
unberechtigt war. Nur, weil es mich genervt hatte, weil es mir immer klar
war, heißt das nicht, dass man es bei anderen nicht bis zum Erbrechen
erwähnen sollte.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 So 03.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo,
>
> > >
> > >
> > > es geht sogar mit weniger: Wenn man weiß, dass der [mm]\ln[/mm]
> > > injektiv ist, folgt
> > > aus [mm]\ln(y)=\ln(5+z)[/mm] sofort [mm]y=5+z\,.[/mm] (Ich gehe mal
> von
> > [mm]y > 0\,[/mm]
> > > und [mm]z > -5\,[/mm] aus.)
> > >
> > Ja, stimmt. Wollen mal sehen, ob das jemand, der ln kürzen
> > wollte, auch so sieht
>
> klar, der hat sich doch
>
> [mm](\ln(x))'=1/x > 0[/mm] für [mm]x > 0[/mm]
>
> überlegt und daraus sofort gefolgert, dass [mm]\ln[/mm] streng
> wächst und daher injektiv
> sein muss. Ist doch klar, dass sowas überlegt wurde.
>
> Aber mal im Ernst: Ich merke an solchen Fragen wirklich,
> dass der mich
> ständig nervende Hinweis meines damaligen Mathelehrers
> "[mm]f(x)\,[/mm] ist [mm]f\,[/mm] ausgewertet
> an der Stelle [mm]x\,,[/mm] und nicht [mm]f\,[/mm] mit [mm]x\,[/mm] multipliziert"
> durchaus nicht
> unberechtigt war. Nur, weil es mich genervt hatte, weil es
> mir immer klar
> war, heißt das nicht, dass man es bei anderen nicht bis
> zum Erbrechen
> erwähnen sollte.
Wie die Frage zeigt ist es sogar dringend notwendig. Ich schreib natürlich auch "ln x" anstelle von "ln(x)", aber man muss halt wissen, was man damit wirklich meint - das scheint beim Fragesteller nicht gegeben zu sein.
Erinnert mich ein wenig an
[mm] $\br{sin(x)}{n}=\br{sin\;x}{n}=\br{si\!\!\!\not{n}\;x}{\not{n}}=six=6$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:23 Mo 04.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > >
> > > >
> > > > es geht sogar mit weniger: Wenn man weiß, dass der [mm]\ln[/mm]
> > > > injektiv ist, folgt
> > > > aus [mm]\ln(y)=\ln(5+z)[/mm] sofort [mm]y=5+z\,.[/mm] (Ich gehe
> mal
> > von
> > > [mm]y > 0\,[/mm]
> > > > und [mm]z > -5\,[/mm] aus.)
> > > >
> > > Ja, stimmt. Wollen mal sehen, ob das jemand, der ln kürzen
> > > wollte, auch so sieht
> >
> > klar, der hat sich doch
> >
> > [mm](\ln(x))'=1/x > 0[/mm] für [mm]x > 0[/mm]
> >
> > überlegt und daraus sofort gefolgert, dass [mm]\ln[/mm] streng
> > wächst und daher injektiv
> > sein muss. Ist doch klar, dass sowas überlegt wurde.
>
> >
> > Aber mal im Ernst: Ich merke an solchen Fragen wirklich,
> > dass der mich
> > ständig nervende Hinweis meines damaligen Mathelehrers
> > "[mm]f(x)\,[/mm] ist [mm]f\,[/mm] ausgewertet
> > an der Stelle [mm]x\,,[/mm] und nicht [mm]f\,[/mm] mit [mm]x\,[/mm] multipliziert"
> > durchaus nicht
> > unberechtigt war. Nur, weil es mich genervt hatte, weil
> es
> > mir immer klar
> > war, heißt das nicht, dass man es bei anderen nicht
> bis
> > zum Erbrechen
> > erwähnen sollte.
>
> Wie die Frage zeigt ist es sogar dringend notwendig. Ich
> schreib natürlich auch "ln x" anstelle von "ln(x)", aber
> man muss halt wissen, was man damit wirklich meint - das
> scheint beim Fragesteller nicht gegeben zu sein.
>
> Erinnert mich ein wenig an
>
> [mm]\br{sin(x)}{n}=\br{sin\;x}{n}=\br{si\!\!\!\not{n}\;x}{\not{n}}=six=6[/mm]
????? Das erste "=" ist falsch ! Du hast die Klammern weggekürzt, obwohl im Nenner gar keine standen ? !
FRED
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Di 05.08.2014 | | Autor: | Marcel |
> > > Hallo,
> > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > es geht sogar mit weniger: Wenn man weiß, dass der [mm]\ln[/mm]
> > > > > injektiv ist, folgt
> > > > > aus [mm]\ln(y)=\ln(5+z)[/mm] sofort [mm]y=5+z\,.[/mm] (Ich gehe
> > mal
> > > von
> > > > [mm]y > 0\,[/mm]
> > > > > und [mm]z > -5\,[/mm] aus.)
> > > > >
> > > > Ja, stimmt. Wollen mal sehen, ob das jemand, der ln kürzen
> > > > wollte, auch so sieht
> > >
> > > klar, der hat sich doch
> > >
> > > [mm](\ln(x))'=1/x > 0[/mm] für [mm]x > 0[/mm]
> > >
> > > überlegt und daraus sofort gefolgert, dass [mm]\ln[/mm] streng
> > > wächst und daher injektiv
> > > sein muss. Ist doch klar, dass sowas überlegt
> wurde.
> >
> > >
> > > Aber mal im Ernst: Ich merke an solchen Fragen wirklich,
> > > dass der mich
> > > ständig nervende Hinweis meines damaligen
> Mathelehrers
> > > "[mm]f(x)\,[/mm] ist [mm]f\,[/mm] ausgewertet
> > > an der Stelle [mm]x\,,[/mm] und nicht [mm]f\,[/mm] mit [mm]x\,[/mm]
> multipliziert"
> > > durchaus nicht
> > > unberechtigt war. Nur, weil es mich genervt hatte,
> weil
> > es
> > > mir immer klar
> > > war, heißt das nicht, dass man es bei anderen nicht
> > bis
> > > zum Erbrechen
> > > erwähnen sollte.
> >
> > Wie die Frage zeigt ist es sogar dringend notwendig. Ich
> > schreib natürlich auch "ln x" anstelle von "ln(x)", aber
> > man muss halt wissen, was man damit wirklich meint - das
> > scheint beim Fragesteller nicht gegeben zu sein.
> >
> > Erinnert mich ein wenig an
> >
> >
> [mm]\br{sin(x)}{n}=\br{sin\;x}{n}=\br{si\!\!\!\not{n}\;x}{\not{n}}=six=6[/mm]
>
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> ????? Das erste "=" ist falsch ! Du hast die Klammern
> weggekürzt, obwohl im Nenner gar keine standen ? !
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Marcel
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