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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Es sei V ein 11-dimensionaler [mm] \IK-Vektorraum [/mm] und [mm] \varphi\in [/mm] Hom(V, V) mit charakteristischem Polynom [mm] p_\varphi(x) [/mm] = (x-c)^11 für ein [mm] c\in\IK. [/mm] Die Jordan-Normalform von [mm] \varphi [/mm] enthalte zwei 1-dimensionale
und je ein 2-dimensionales, ein 3-dimensionales und ein 4-dimensionales Jordankästchen.
Weiter sei [mm] \phi [/mm] = [mm] \varphi-c*id
[/mm]
und 0 < Kern [mm] (\phi) [/mm] < Kern [mm] (\phi^2) [/mm] < ... < Kern ( [mm] \phi^k) [/mm] = Kern ( [mm] \phi^{k+1}):
[/mm]
Bestimmen Sie die Dimensionen von Kern [mm] (\phi^i). [/mm] (Mit Erläuterung.) |
Ich kann sagen, dass k=4, da der Exponent des Hauptraumes das größte Kästchen zum jeweiligen Eigenwert bestimmt.
Aber welche Aussagen kann ich über die Dimension der Kerne treffen???
ICh habe diese Frage auf keinem andern Forum auf andern Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 So 24.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Zerwas!
> Es sei V ein 11-dimensionaler [mm]\IK-Vektorraum[/mm] und [mm]\varphi\in[/mm]
> Hom(V, V) mit charakteristischem Polynom [mm]p_\varphi(x)[/mm] =
> (x-c)^11 für ein [mm]c\in\IK.[/mm] Die Jordan-Normalform von [mm]\varphi[/mm]
> enthalte zwei 1-dimensionale
> und je ein 2-dimensionales, ein 3-dimensionales und ein
> 4-dimensionales Jordankästchen.
> Weiter sei [mm]\phi[/mm] = [mm]\varphi-c*id[/mm]
> und 0 < Kern [mm](\phi)[/mm] < Kern [mm](\phi^2)[/mm] < ... < Kern ( [mm]\phi^k)[/mm]
> = Kern ( [mm]\phi^{k+1}):[/mm]
> Bestimmen Sie die Dimensionen von Kern [mm](\phi^i).[/mm] (Mit
> Erläuterung.)
> Ich kann sagen, dass k=4, da der Exponent des Hauptraumes
> das größte Kästchen zum jeweiligen Eigenwert bestimmt.
Genau.
> Aber welche Aussagen kann ich über die Dimension der Kerne
> treffen???
Schreib dir doch mal die Darstellungsmatrix von [mm] $\varphi$ [/mm] in Jordan-Normalform auf. Daraus erhaelst du sofort die Darstellungsmatrix von [mm] $\phi$ [/mm] und den Potenzen [mm] $\phi^2$, $\phi^3$, $\phi^4$, [/mm] etc.
Und von denen wiederum kannst du die Dimension des Kerns direkt ablesen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 24.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Wenn ich [mm] \varphi [/mm] in Jordannormalform aufschreibe erhalte ich die Matrix:
[mm] J=\pmat{ x & 1 & & & & & & & & & \\ & x & 1 & & & & & & & & \\ & & x & 1 & & & & & & & \\ & & & x & & & & & & & \\ & & & & x & 1 & & & & & \\ & & & & & x & 1 & & & & \\ & & & & & & x & & & & \\ & & & & & & & x & 1 & & \\ & & & & & & & & & x & 1 \\ & & & & & & & & & & x } [/mm]
Aber wie lese ich jetzt die Dimension der Kerne ab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 So 24.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wenn ich [mm]\varphi[/mm] in Jordannormalform aufschreibe erhalte
> ich die Matrix:
> [mm]J=\pmat{ x & 1 & & & & & & & & & \\ & x & 1 & & & & & & & & \\ & & x & 1 & & & & & & & \\ & & & x & & & & & & & \\ & & & & x & 1 & & & & & \\ & & & & & x & 1 & & & & \\ & & & & & & x & & & & \\ & & & & & & & x & 1 & & \\ & & & & & & & & & x & 1 \\ & & & & & & & & & & x }[/mm]
Und was ist $x$?
> Aber wie lese ich jetzt die Dimension der Kerne ab?
Dazu stellst du erstmal die Matrix von [mm] $\phi$ [/mm] auf, und die von [mm] $\phi^2$, $\phi^3$, $\phi^4$. [/mm] Und dann berechnest du davon (wie man das halt bei Matrizen tut) den Kern und damit dessen Dimension.
LG Felix
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