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Jordan Normalform: reelle und komplexe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Do 14.03.2013
Autor: Inocencia

Aufgabe
Man bestimme die reelle und komplexe Normalform:
[mm] \pmat{ 3 & -1 & 2 & -14 \\ 9 & -3 & -24 & -2 \\ 0 & 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 2 & -2 } [/mm]

Also ich habe mir mal die EW ausgerechnet:
[mm] \lambda_1,2 [/mm] = 0
[mm] \lambda_3 [/mm] = wurzel{2}i
[mm] \lambda_4 [/mm] = -wurzel{2}i

Eigenvektor zu 0: [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 0 \\ 0} [/mm]
bei 0 weiß ich, dass die alg. Vielfachheit 2 ist und die geom. 1 ist. und dimkern(A-0I)=dimkern(A)=1

aber ich habe keine Ahnung wie ich die EV zu den komplexen EW berechnen soll? Brauche ich das überhaupt?


Bin für jegliche Hilfe sehr dankbar

        
Bezug
Jordan Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Do 14.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Man bestimme die reelle und komplexe Normalform:
>  [mm]\pmat{ 3 & -1 & 2 & -14 \\ 9 & -3 & -24 & -2 \\ 0 & 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 2 & -2 }[/mm]
>  
> Also ich habe mir mal die EW ausgerechnet:
>  [mm]\lambda_1,2[/mm] = 0
> [mm]\lambda_3[/mm] = wurzel{2}i
>  [mm]\lambda_4[/mm] = -wurzel{2}i
>  
> Eigenvektor zu 0: [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> bei 0 weiß ich, dass die alg. Vielfachheit 2 ist und die
> geom. 1 ist. und dimkern(A-0I)=dimkern(A)=1

Siehst gut aus.

> aber ich habe keine Ahnung wie ich die EV zu den komplexen
> EW berechnen soll?

Du kannst sie ja nur über [mm] $\IC$ [/mm] bestimmen. Und da geht die Rechnung wie im Reellen auch! Also $Kern(Matrix - [mm] \lambda_{3/4} [/mm] E)$ bestimmen.


> Brauche ich das überhaupt?

Für die Jordansche Normalform über [mm] $\IC$ [/mm] brauchst du das nicht. Du kennst doch da bereits alle algebraischen und geometrischen Vielfachheiten (der Eigenraum von [mm] $\lambda_3$ [/mm] und [mm] $\lambda_4$ [/mm] muss ja Dimension 1 haben).


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Jordan Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Do 14.03.2013
Autor: Inocencia

Vielen Dank. :)
also schaut dann meine Normalform folgendermaßen aus:

[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel{2}i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\wurzel{2}i } [/mm]

oder? das ist jetzt meine komplexe Normalform? Wie komme ich zur reellen?

Bezug
                        
Bezug
Jordan Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:07 Do 14.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


>  also schaut dann meine Normalform folgendermaßen aus:
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel{2}i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\wurzel{2}i }[/mm]
>  
> oder? das ist jetzt meine komplexe Normalform?

Ja.

> Wie komme
> ich zur reellen?

Schau mal  []hier.



Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Jordan Normalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:40 Do 14.03.2013
Autor: Inocencia

Vielen Dank für den Link, steppenhahn.

Ich werde es mal versuchen wie es in Wiki steht und wenn ich Fragen haben sollte, werde ich es hier schreiben.

Liebe Grüße

Bezug
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