Integrieren, Partiell, Trig. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 12.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Berechne 2 [mm] \pi [/mm] * [mm] \int_0^1 [/mm] r [mm] \sqrt{1+ 4r^2} [/mm] dr |
In einer AUfgabe kam ich auf das Integral!
Substitution: 2r= sinh (t), dr= cosh(t)/2 dt
= 2 [mm] \pi \int_0^{arcsinh(2)} \frac{sinh(t)}{2} [/mm] * [mm] \sqrt{1+ sinh^2 (t)} \frac{cosh(t)}{2} [/mm] dt
= [mm] \pi/2 [/mm] * [mm] \int_0^{arcsinh(2)} [/mm] sinh(t) * [mm] cosh^2 [/mm] (t) dt.
Partiell :
[mm] \pi/2 [/mm] * ( 2 cosh (t) sinh(t) - [mm] \int [/mm] 2 cosh (t) * sinh(t) * cosh(t) dt= [mm] \pi [/mm] cosh (t) * sinh(t) - [mm] \pi \int cosh^2 [/mm] (t) sinh (t) dt
umformen
[mm] \pi/2 [/mm] * [mm] \int_0^{arcsinh(2)} [/mm] sinh(t) * [mm] cosh^2 [/mm] (t) dt = [mm] \frac{\pi cosh(t) sinh(t)}{3}
[/mm]
In Grenzen eingesetzt: [mm] \frac{\pi cosh(arcsin (2)) *2}{3}
[/mm]
Ich hab das gefühlt das ist sehr falsch..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mi 12.12.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo
> Berechne 2 [mm]\pi[/mm] * [mm]\int_0^1[/mm] r [mm]\sqrt{1+ 4r^2}[/mm] dr
> In einer AUfgabe kam ich auf das Integral!
>
> Substitution: 2r= sinh (t), dr= cosh(t)/2 dt
substituiere: [mm] $t=4r^2+1$
[/mm]
>
> = 2 [mm]\pi \int_0^{arcsinh(2)} \frac{sinh(t)}{2}[/mm] * [mm]\sqrt{1+ sinh^2 (t)} \frac{cosh(t)}{2}[/mm]
> dt
> = [mm]\pi/2[/mm] * [mm]\int_0^{arcsinh(2)}[/mm] sinh(t) * [mm]cosh^2[/mm] (t) dt.
>
> Partiell :
> [mm]\pi/2[/mm] * ( 2 cosh (t) sinh(t) - [mm]\int[/mm] 2 cosh (t) * sinh(t) *
> cosh(t) dt= [mm]\pi[/mm] cosh (t) * sinh(t) - [mm]\pi \int cosh^2[/mm] (t)
> sinh (t) dt
> umformen
> [mm]\pi/2[/mm] * [mm]\int_0^{arcsinh(2)}[/mm] sinh(t) * [mm]cosh^2[/mm] (t) dt =
> [mm]\frac{\pi cosh(t) sinh(t)}{3}[/mm]
>
> In Grenzen eingesetzt: [mm]\frac{\pi cosh(arcsin (2)) *2}{3}[/mm]
>
> Ich hab das gefühlt das ist sehr falsch..
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mi 12.12.2012 | | Autor: | sissile |
Was ist an meinder Substitution genau falsch?
Wenn ich t = [mm] 4r^2 [/mm] +1, dt = 8r dr
2 [mm] \pi \int_1^5 \frac{\sqrt{t}}{8} [/mm] dt = [mm] \frac{\pi}{4} \int_1^5 \sqrt{t} [/mm] dt [mm] =\frac{\pi}{4} [/mm] * [mm] \frac{2}{3} (5^{3/2} [/mm] - 1)= [mm] \frac{\pi}{6} (5^{3/2} [/mm] - 1)
So?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mi 12.12.2012 | | Autor: | notinX |
> Was ist an meinder Substitution genau falsch?
Keine Ahnung. Ich habe weder behauptet, dass sie falsch ist noch habe ich sie mir überhaupt näher angekukt. Aber wie Du ja selbst gemerkt hast, ist sie auf jeden Fall ziemlich kompliziert.
>
> Wenn ich t = [mm]4r^2[/mm] +1, dt = 8r dr
> 2 [mm]\pi \int_1^5 \frac{\sqrt{t}}{8}[/mm] dt = [mm]\frac{\pi}{4} \int_1^5 \sqrt{t}[/mm]
> dt [mm]=\frac{\pi}{4}[/mm] * [mm]\frac{2}{3} (5^{3/2}[/mm] - 1)=
> [mm]\frac{\pi}{6} (5^{3/2}[/mm] - 1)
>
> So?
Ja, genau. Geht doch viel einfacher, oder?
Gruß,
notinX
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