Integrationsfunktion zu lösen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist in zwei Dimensionen das Doppelschichtpotential
$(D [mm] \phi)(z)= \int_\tau \frac{\partial}{\partial n_x} [/mm] H(z-x) [mm] \phi(x) [/mm] d [mm] \tau_x$
[/mm]
mit $H(z-x)=log [mm] \|z-x \|$ [/mm] und nehme an dass $[-1,1] [mm] \times \{0\} \in \tau$. [/mm] Man werte [mm] $\D \phi(z)$ [/mm] von Hand aus und untersuche sein Verhalten auf dem Interval. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] $D\phi(z)$ [/mm] ist einfach der Gradient?
Mit der Kettenregel kriege ich
[mm] $\partial_x H(z-x)=\frac{x-z}{\|z-x\|^2}$ [/mm] und
[mm] $\partial_z H(z-x)=\frac{z-x}{\|z-x\|^2}$
[/mm]
Da [mm] $\phi(z)$ [/mm] ein Potential, erfüllt die Funktion [mm] $\Delta \phi=0$
[/mm]
Ich weiss noch nicht: Was ist die äussere Normale auf [-1,1] [mm] \times \{0\}? [/mm] Für negative 1. Komponente ist das [mm] $\vektor{-1 \\ 0}$ [/mm] und für positive 1. Komponente [mm] $\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] ?
Ich hätte dann für positive 1. Komponente
[mm] $(D\phi(z))=\int <\vektor{1\\0},\frac{(x-z)}{\|z-x\|^2}*\phi(x)> +<\vektor{1\\0},log\|x-z\| \nabla{\phi(x)}>$
[/mm]
Weil [mm] [-1,1]\times\{0\}$ [/mm] kann ich die zweite Komponente dann einfach auf 0 setzen und das Integral normal auf dem Interval $[-1,1]$ ausrechnen?
Wie muss ich dieses Integral hier berechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 22.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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