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Integration von sin^n: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 So 28.03.2010
Autor: Cassipaya

Aufgabe
Keine Aufgabe

Hallo Zusammen

In meinem Vorlesungsskript hat es ein Beispiel, wo ich ein einziger Teilschritt nicht verstehe. Kann mir jemand helfen?

Es geht um Folgendes:

[mm] I_{n} [/mm] = [mm] \integral{sin^{n}(x) dx} [/mm]
   = [mm] \integral{sin(x)*sin^{n-1} dx} [/mm]
   = [mm] -cos(x)*sin^{n-1}(x) [/mm] + [mm] \integral{cos^{2}*(n-1)*sin^{n-2} dx} [/mm]
   = usw.

wie kommen sie auf [mm] cos^{2} [/mm] ?!?
alles andere stimmt mit der Partiellen Integration, die ich kenne, überein, aber ich hätte dort nur (-) cos(x). Wo denke ich falsch?
Jeder weitere Schritt ( hier nicht drauf ) ist für mich logisch, aber das versteh ich nicht.

Danke für eure Antworten!

Liebe Grüsse Cassiopaya

        
Bezug
Integration von sin^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 So 28.03.2010
Autor: MathePower

Hallo Cassipaya,

> Keine Aufgabe
>  Hallo Zusammen
>  
> In meinem Vorlesungsskript hat es ein Beispiel, wo ich ein
> einziger Teilschritt nicht verstehe. Kann mir jemand
> helfen?
>  
> Es geht um Folgendes:
>  
> [mm]I_{n}[/mm] = [mm]\integral{sin^{n}(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral{sin(x)*sin^{n-1} dx}[/mm]
>     = [mm]-cos(x)*sin^{n-1}(x)[/mm]
> + [mm]\integral{cos^{2}*(n-1)*sin^{n-2} dx}[/mm]
>     = usw.
>  
> wie kommen sie auf [mm]cos^{2}[/mm] ?!?

Die Ableitung von [mm]sin^{n-1}\left(x\right)[/mm] ergibt sich nach der Kettenregel zu:

[mm]\left( \ sin^{n-1}\left(x\right) \ \right)'=\left(n-1\right)*sin^{n-2}\left(x\right)*\cos\left(x\right)[/mm]

Multipliziert mit [mm]\cos\left(x\right)[/mm] ergibt:

[mm]\cos\left(x\right)*\left(n-1\right)*sin^{n-2}\left(x\right)*\cos\left(x\right)=\left(n-1\right)*sin^{n-2}\left(x\right)*\cos^{2}\left(x\right)[/mm]


>  alles andere stimmt mit der Partiellen Integration, die
> ich kenne, überein, aber ich hätte dort nur (-) cos(x).
> Wo denke ich falsch?
>  Jeder weitere Schritt ( hier nicht drauf ) ist für mich
> logisch, aber das versteh ich nicht.
>  
> Danke für eure Antworten!
>  
> Liebe Grüsse Cassiopaya


Gruss
MathePower

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