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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Mi 14.05.2008 | | Autor: | StayPuft |
| Aufgabe | Man löse die folgende Differentialgleichung:
$(1-y)*y'' + [mm] 2\cdot (y')^2$
[/mm]
Lösung:
Methode 'Reduktion der Ordnung'
$(1-y)*y'' + [mm] 2*(y')^2 [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] y'' = [mm] \bruch{2(y')^2}{y-1}$.
[/mm]
Setze $v(y) = y'$, dann ergibt sich $v' = [mm] \bruch{2v^2}{v*(y-1)}$.
[/mm]
Trennung der Variablen ergibt: $ln(v) = 2*ln(y-1) + C [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] v = y' = [mm] C*(y-1)^2$. [/mm] |
Moin,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Integration von [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] ergibt doch $ln|x|$, also mit Betragsstrichen, weil der $ln$ ja nur für positive Werte definiert ist.
Warum werden dann nach der Integration bei der Trennung der Variablen die Betragsstriche in dem Ausdruck $ln(v) = 2*ln(y-1) + C$ weggelassen?
Mir ist auch schon bei anderen Aufgaben aufgefallen, dass die Betragsstriche mal hingeschrieben und mal weggelassen werden und immer ohne Angabe von Gründen. Gibt es da Regeln, nach denen man das entscheidet?
Schon mal im Vorraus danke für eure Hilfe.
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Hallo,
> Man löse die folgende Differentialgleichung:
> [mm](1-y)*y'' + 2\cdot (y')^2[/mm]
> Lösung:
> Methode 'Reduktion der Ordnung'
> [mm](1-y)*y'' + 2*(y')^2 = 0 \gdw y'' = \bruch{2(y')^2}{y-1}[/mm].
>
> Setze [mm]v(y) = y'[/mm], dann ergibt sich [mm]v' = \bruch{2v^2}{v*(y-1)}[/mm].
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> Trennung der Variablen ergibt: [mm]ln(v) = 2*ln(y-1) + C \quad \Rightarrow \quad v = y' = C*(y-1)^2[/mm].
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> Moin,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Die Integration von [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ergibt doch [mm]ln|x|[/mm], also
> mit Betragsstrichen, weil der [mm]ln[/mm] ja nur für positive Werte
> definiert ist.
> Warum werden dann nach der Integration bei der Trennung
> der Variablen die Betragsstriche in dem Ausdruck [mm]ln(v) = 2*ln(y-1) + C[/mm]
> weggelassen?
>
> Mir ist auch schon bei anderen Aufgaben aufgefallen, dass
> die Betragsstriche mal hingeschrieben und mal weggelassen
> werden und immer ohne Angabe von Gründen. Gibt es da
> Regeln, nach denen man das entscheidet?
die frage ist nicht ganz unberechtigt. Ich denke, manchmal werden die betragstriche einfach aus schludrigkeitr weggelassen. Wenn man es genau machen will, muss man diesen schritt quasi nachtraeglich rechtfertigen und darauf achten dass die loesung (dein v) nicht negativ sein darf.
Andererseits: wenn die erhaltene funktion tatsaechlich die Dgl. loest (was man ja einfach pruefen kann), ist es eigentlich auch zweitrangig, ob es in der herleitung kleine unebenheiten gab...
gruss
matthias
>
> Schon mal im Vorraus danke für eure Hilfe.
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