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Forum "Integralrechnung" - Integralrechnung
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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Fr 14.08.2009
Autor: hamma

hi, ich wollt wissen ob die Partialbrüche soweit stimmen, mit dem zweiten bruch bin ich mir nicht so sicher.

[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{(x+1)^2}{x^3+x} dx} [/mm] =  [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{(x+1)^2}{x(x^2+1)} dx} [/mm]

Partialbrüche:


[mm] =\bruch{A}{x}+\bruch{Bx+C}{x^2+1} [/mm]


        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Fr 14.08.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Markus,

> hi, ich wollt wissen ob die Partialbrüche soweit stimmen,
> mit dem zweiten bruch bin ich mir nicht so sicher.
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{(x+1)^2}{x^3+x} dx}[/mm] =  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{(x+1)^2}{x(x^2+1)} dx}[/mm]
>  
> Partialbrüche:
>  
>
> [mm]=\bruch{A}{x}+\bruch{Bx+C}{x^2+1}[/mm] [ok]

Ja, der Ansatz ist richtig.

Nun weiter ... ;-)

LG

schachuzipus

>  


Bezug
                
Bezug
Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Fr 14.08.2009
Autor: hamma

dann folgt,

[mm] (x+1)^2 [/mm] = [mm] A(x^2+1)+(Bx+C)*x [/mm]

bei x=0    ist   A=1

so, jetzt kann ich zwei beliebige x-werte in die Gleichung einsetzen um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten.

bei x=1  folgt die Gleichung  4=2A +B +C
bei x=2  folgt die Gleichung  9=5A +4B+2C

und bekomme dann als ergebnis : A=1, [mm] B=\bruch{1}{2}, [/mm] C=1

und erhalte dann das integral,

[mm] =\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} dx}+\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{x^2+1} dx}+\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2+1} dx} [/mm]

= [mm] ln(x)+\bruch{1}{4}ln(x^2+1)+arctan(x) [/mm] +C

....leider habe ich was falsch gemacht weil mein integralrechner ein anderes ergebnis zeigt.


Bezug
                        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Fr 14.08.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

>  dann folgt,
>
> [mm](x+1)^2[/mm] = [mm]A(x^2+1)+(Bx+C)*x[/mm]
>  
> bei x=0    ist   A=1 [ok]
>  
> so, jetzt kann ich zwei beliebige x-werte in die Gleichung
> einsetzen um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten.
>  
> bei x=1  folgt die Gleichung  4=2A +B +C
>  bei x=2  folgt die Gleichung  9=5A +4B+2C
>  
> und bekomme dann als ergebnis : A=1, [mm]B=\bruch{1}{2},[/mm] C=1 [notok]

Ich verstehe nix von der Methode, die du da angewendet hast und schlage einen einfachen 08/15 Koeffizientenvergleich vor:

Der Ansatz war: [mm] $\frac{\overbrace{(x+1)^2}^{=x^2+2x+1}}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$ [/mm]

Nun rechterhand gleichnamig machen und nach Potenzen von x sortieren:

[mm] $=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)x}{x(x^2+1)}=\frac{(\red{A+B})x^2+\blue{C}x+\green{A}}{x(x^2+1)}$ [/mm]

Nun im Zähler nen Koeffizientenvergleich mit [mm] $\red{1}x^2+\blue{2}x+\green{1}$ [/mm]

>  
> und erhalte dann das integral,
>  
> [mm]=\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} dx}+\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{x^2+1} dx}+\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2+1} dx}[/mm]
>  
> = [mm]ln(x)+\bruch{1}{4}ln(x^2+1)+arctan(x)[/mm] +C
>  
> ....leider habe ich was falsch gemacht weil mein
> integralrechner ein anderes ergebnis zeigt.

Ja, du hast 2 Koeffizienten falsch berechnet, daher das Ungemach


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:02 Fr 14.08.2009
Autor: hamma

ok, danke, ich hatte eine lücke mit koeffizientenvergleich.  jetzt habe ich das richtige ergebnis.



Bezug
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