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Forum "Analysis des R1" - Integral über Polynom
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Integral über Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 Fr 15.05.2009
Autor: pelzig

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Für $a,b,c\in\IN_0$ gilt $\int_0^1\int_0^{1-x}(1-x-y)^ax^by^c\ dy\ dx=\frac{a!b!c!}{(a+b+c+2)!}$.

Hey,

Sollte ja eigentlich kein Problem sein, der Integrand ist ein Polynom in zwei Variablen. Habe es also mit der Brechstange versucht (binomischer Satz) und komme für die linke Seite auf $$\sum_{k=0}^a\sum_{l=0}^{k+c+1}{a\choose k}{k+c+1\choose l}\frac{(-1)^{k-l}}{(k+c+1)(b+l+1)$$ Wahrscheinlich hab ich mich auch unterwegs irgendwo verrechnet, jedenfalls hab ich das Gefühl ich steck in ner Sackgasse, es gibt sicher einen einfacheren Weg. Vielleicht ein induktives Argument?

Gruß, Robert

        
Bezug
Integral über Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Sa 16.05.2009
Autor: Leopold_Gast

Setze für [mm]m,n \geq 0[/mm] ganzzahlig: [mm]I(m,n) = \int_0^1 (1-t)^m t^n~\mathrm{d}t[/mm]

Mit der Substitution [mm]y = (1-x) \, t[/mm] findest du dann für das innere Integral

[mm]\int_0^{1-x} (1-x-y)^a y^c~\mathrm{d}y = I(a,c) \cdot (1-x)^{a+c+1}[/mm]

und schließlich insgesamt

[mm]\int_0^1 \int_0^{1-x} (1-x-y)^a x^b y^c~\mathrm{d}y~\mathrm{d}x = \int_0^1 I(a,c) \cdot (1-x)^{a+c+1} x^b~\mathrm{d}x = I(a,c) \cdot I(a+c+1,b)[/mm]

Mit [mm]I(m,0) = \frac{1}{m+1}[/mm] folgt aus [mm]I(m,n) = \frac{n}{m+1} \cdot I(m+1,n-1)[/mm] für [mm]n>0[/mm] (partielle Integration) durch [mm]n[/mm]-malige Anwendung

[mm]I(m,n) = \frac{m! \, n!}{(m+n+1)!}[/mm]

Bezug
                
Bezug
Integral über Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:12 Sa 16.05.2009
Autor: pelzig

Super, Danke!

Bezug
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