Integral gilt es zu lösen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 So 08.05.2005 | | Autor: | Brabbel |
Hallo Mathefreunde,
ich bin neu hier und würde mich über Eure Hilfe bei folgender Aufgabe freuen:
Für das folgende oft in der Statistik verwendete Integral gilt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty} {e^{-x^{2}/2} dx}= \wurzel{2\pi}
[/mm]
Berechne damit:
[mm]\bruch{1}{\wurzel{\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty} {e^{-(x-2)^2} dx}[/mm]
Mir fehlt irgendwie der nötige Ansatz. Ich bekomme den zweiten Ausdruck durch algebraische Umformung einfach nicht in eine Form, die mich weiterbringt...
Folgendes habe ich bereits versucht:
Den Exponenten [mm]-(x-2)^2 [/mm] ausmultiplizieren und das Integral auf folgende Form gebracht:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{\pi}e^{4}}\integral_{-\infty}^{\infty} {e^{2x}e^{-x^{2}/2} dx}[/mm]
Nun ist ja zumindest das Ausgangsintegral vorhanden, bringt mich allerdings nicht wirklich weiter.
Wäre über Hilfe dankbar!
Viele Grüße,
Brabbel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 So 08.05.2005 | | Autor: | Brabbel |
Danke Max für die schnelle Antwort.
Mit Substitution habe ich bereits ein wenig rumexperementiert.
setze ich
[mm]u=x-2[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=1[/mm]
[mm]dx=du[/mm]
erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{\pi}} \integral_{- \infty}^{ \infty} {e^{-u^{2}} du}
[/mm]
Dies unterscheidet sich ja nur noch durch die 1/2 im Exponenten von e.
Tut mir leid, ich sehe es immernoch nicht. Die Stammfunktion ist ja eigentlich schnell gebildet, aber ich glaube nicht, dass das der Zweck der Übung ist. Oder etwa doch?
Gruß
Brabbel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 So 08.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Brabbel!
Du mußt es schon mit der Substitution von Max' Antwort versuchen:
$u \ := \ [mm] \wurzel{2} [/mm] * (x-2)$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x-2 \ = \ [mm] \bruch{u}{\wurzel{2}}$
[/mm]
Dann erhältst Du auch den gewünschten Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] im Exponenten.
Als Endergebnis erhalte ich dann (bitte nachrechnen):
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{\pi}} [/mm] * [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty} {e^{-(x-2)^2} \ dx} [/mm] \ = \ 1$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 So 08.05.2005 | | Autor: | Brabbel |
Vielen Dank Euch beiden.
Das ist es doch schon gewesen!
Ihr habt mir sehr geholfen.
gn8
Brabbel
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Substitutionsregel