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Huhu zusammen!
Ich habe hier so eine komische Umformung gefunden, es gibt keine weiteren Vorraussetzungen: [mm] (B^3 [/mm] bezeichne die EInheitskugel)
[mm] \integral_{B^3} {x_2^2 d \lambda^3 (x)}
[/mm]
=
[mm] \bruch{1}{3} \integral_{B^3}{(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) d \lambda^3( x)}
[/mm]
Ich wüsste nicht warum das gelten sollte. Man kann ja nicht einfach annehmen, dass [mm] x_1^2 [/mm] = [mm] x_2^2 [/mm] = [mm] x_3^2 [/mm] ,oder?
Lg,
Eve
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Sa 25.01.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo Eve,
> Ich habe hier so eine komische Umformung gefunden, es gibt
> keine weiteren Vorraussetzungen: [mm](B^3[/mm] bezeichne die
> EInheitskugel)
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> [mm]\integral_{B^3} {x_2^2 d \lambda^3 (x)}[/mm]
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> =
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> [mm]\bruch{1}{3} \integral_{B^3}{(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) d \lambda^3( x)}[/mm]
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> Ich wüsste nicht warum das gelten sollte. Man kann ja
> nicht einfach annehmen, dass [mm]x_1^2[/mm] = [mm]x_2^2[/mm] = [mm]x_3^2[/mm] ,oder?
Nein, aber
[mm]\integral_{B^3} {x_1^2\, d \lambda^3 (x)} = \integral_{B^3} {x_2^2\, d \lambda^3 (x)} = \integral_{B^3} {x_3^2 \,d \lambda^3 (x)}[/mm] .
Das ist nichts als die Rotation des Koordinatensystems: durch eine Rotation um [mm] $\pi/2$ [/mm] um die [mm] $x_3$-Achse [/mm] wird aus [mm] $x_2^2$ [/mm] der Term [mm] $x_1^2$. [/mm] Am Integral ändert sich nichts, denn dessen Wert ist unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems.
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo Eve,
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> > Ich habe hier so eine komische Umformung gefunden, es gibt
> > keine weiteren Vorraussetzungen: [mm](B^3[/mm] bezeichne die
> > EInheitskugel)
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> >
> > [mm]\integral_{B^3} {x_2^2 d \lambda^3 (x)}[/mm]
> >
> > =
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> > [mm]\bruch{1}{3} \integral_{B^3}{(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) d \lambda^3( x)}[/mm]
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> > Ich wüsste nicht warum das gelten sollte. Man kann ja
> > nicht einfach annehmen, dass [mm]x_1^2[/mm] = [mm]x_2^2[/mm] = [mm]x_3^2[/mm] ,oder?
>
> Nein, aber
>
> [mm]\integral_{B^3} {x_1^2\, d \lambda^3 (x)} = \integral_{B^3} {x_2^2\, d \lambda^3 (x)} = \integral_{B^3} {x_3^2 \,d \lambda^3 (x)}[/mm]
> .
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> Das ist nichts als die Rotation des Koordinatensystems:
> durch eine Rotation um [mm]\pi/2[/mm] um die [mm]x_3[/mm]-Achse wird aus
> [mm]x_2^2[/mm] der Term [mm]x_1^2[/mm]. Am Integral ändert sich nichts, denn
> dessen Wert ist unabhängig von der Wahl des
> Koordinatensystems.
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> Viele Grüße
> Rainer
>
ahhh mit der Erklärung macht das ja doch einen Sinn! Lieben Dank Rainer ;)
Viele Grüße zurück,
Eve
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