Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Di 10.11.2009 | | Autor: | psybrain |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
t = infimum A [mm] \gdw \forall\varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A mit x < t + [mm] \varepsilon
[/mm]
( A [mm] \not= [/mm] 0, A [mm] \subset [/mm] R ):
|
Hallo,
Bitte um Korrektur:
Definition infimum:
i) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \ge [/mm] t
ii) [mm] \forall [/mm] r [mm] \in \IR [/mm] > t [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M mit x < r
r kann man auch so ausdrücken: r = t + [mm] \varepsilon
[/mm]
bew 1 (richtung [mm] \Rightarrow): [/mm] in ii einsetzen
[mm] \forall [/mm] t + [mm] \varepsilon [/mm] > t [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M mit x < t + [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \forall\varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M mit x < t + [mm] \varepsilon [/mm] = behauptung
bew 2 (richtung [mm] \Leftarrow):
[/mm]
[mm] \forall\varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M mit x < t + [mm] \varepsilon
[/mm]
r = t + [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] \varepsilon [/mm] = r - t
[mm] \forall [/mm] r - t > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A mit x < t + r - t
[mm] \forall [/mm] r > t [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A Mmit x < r (ii)
damit ist zwar (ii) der infimum definition bewiesen, aber nicht (i)
da x < t sein darf, bleibt die rechte aussage richtig.
die folgerung dass es sich dann aber um ein infimum handelt, ist falsch.
ist mein gedankengang richtig?
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Mi 11.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
> t = infimum A [mm]\gdw \forall\varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A
> mit x < t + [mm]\varepsilon[/mm]
>
> ( A [mm]\not=[/mm] 0, A [mm]\subset[/mm] R ):
Bei der Aufgabenstellung hast Du etwas unterschlagen !
Beispiel: A = {0}, t = 2009.
Dann gilt trivialerweise: $ [mm] \forall\varepsilon [/mm] $ > 0 $ [mm] \exists [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ A mit x < t + $ [mm] \varepsilon [/mm] $
Korrekt muß die Aufgabe so lauten:
Zeigen Sie: ist A nach unten beschränkt und t eine untere Schranke von A, so gilt:
t = infimum A $ [mm] \gdw \forall\varepsilon [/mm] $ > 0 $ [mm] \exists [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ A mit x < t + $ [mm] \varepsilon [/mm] $
FRED
>
> Hallo,
>
> Bitte um Korrektur:
>
> Definition infimum:
>
> i) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\ge[/mm] t
> ii) [mm]\forall[/mm] r [mm]\in \IR[/mm] > t [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] M mit x < r
>
> r kann man auch so ausdrücken: r = t + [mm]\varepsilon[/mm]
>
> bew 1 (richtung [mm]\Rightarrow):[/mm] in ii einsetzen
> [mm]\forall[/mm] t + [mm]\varepsilon[/mm] > t [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] M mit x < t +
> [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\forall\varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] M mit x < t +
> [mm]\varepsilon[/mm] = behauptung
>
>
> bew 2 (richtung [mm]\Leftarrow):[/mm]
> [mm]\forall\varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] M mit x < t +
> [mm]\varepsilon[/mm]
> r = t + [mm]\varepsilon[/mm] , [mm]\varepsilon[/mm] = r - t
> [mm]\forall[/mm] r - t > 0 [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A mit x < t + r - t
> [mm]\forall[/mm] r > t [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A Mmit x < r (ii)
>
> damit ist zwar (ii) der infimum definition bewiesen, aber
> nicht (i)
>
> da x < t sein darf, bleibt die rechte aussage richtig.
> die folgerung dass es sich dann aber um ein infimum
> handelt, ist falsch.
>
> ist mein gedankengang richtig?
> danke!
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
|
|
|
|
