Inf., Sup., Max., Min. finden < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 30.03.2008 | | Autor: | Jolly |
| Aufgabe | | [mm] M = \left\{ \bruch{1}{n} - \bruch{1}{m^2}\ |\ n, m \in\IN \setminus{0} \right\} [/mm]. Man bestimme Infimum, Supremum, Minimum und Maximum, falls diese existieren. |
Also, das ist die Aufgabe. Wir haben Lösungen bekommen und da verstehe ich das, was anschließend hinterfragt ist, nicht: (habs versucht, dick oder rot zu machen, das Forum zeigte sich gänzlich unbeeindruckt  )
Beh.: 1 ist obere Schranke von M.
Bew.: Ann. [mm] \exists x\in\ M, x = \bruch{1}{n [sub] 0 [/sub]} - \bruch{1}{m [sub] 0 [/sub]^2} [/mm] mit [mm] x > 1 [/mm]
[mm] \bruch{1}{n [sub] 0 [/sub]} - \bruch{1}{m [sub] 0 [/sub]^2} > 1 \gdw m [sub] 0 [/sub]^2 - n [sub] 0 [/sub]\qquad <\qquad n [sub] 0 [/sub]*m [sub] 0 [/sub]^2 [/mm]
(wieso wird hier das [mm] > [/mm] zu einem [mm] < [/mm]? Ändert sich das Ungleichzeichen nicht nur, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert (durch sie dividiert)? Oder bringe ich jetzt schon alles durcheinander?)
[mm] m [sub] 0 [/sub]^2 > n [sub] 0 [/sub]*m [sub] 0 [/sub]^2 + n [sub] 0 [/sub] = n [sub] 0 [/sub]*(m [sub] 0 [/sub]^2 + 1) \ge\qquad m [sub] 0 [/sub]^2 + 1 < m [sub] 0 [/sub]^2\qquad Widerspruch [/mm] . Also ist 1 eine obere Schranke für M.
Dass hier gilt [mm] n [sub] 0 [/sub]*(m [sub] 0 [/sub]^2 + 1) \ge m [sub] 0 [/sub]^2 + 1 [/mm] ist ja klar, aber warum kann ich dann einfach mal behaupten, dass das zu meinem Widerspruch führt? Natürlich ist [mm] m [sub] 0 [/sub]^2 + 1 < m [sub] 0 [/sub]^2 [/mm] ein Widerspruch, aber ich seh den Widerspruch nicht. Ist irgendwie verständlich, was ich meine? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Viele Grüße, Jolly
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 So 30.03.2008 | | Autor: | Blech |
> [mm]M = \left\{ \bruch{1}{n} - \bruch{1}{m^2}\ |\ n, m \in\IN \setminus{0} \right\} [/mm].
> Man bestimme Infimum, Supremum, Minimum und Maximum, falls
> diese existieren.
> Also, das ist die Aufgabe. Wir haben Lösungen bekommen und
> da verstehe ich das, was anschließend hinterfragt ist,
> nicht: (habs versucht, dick oder rot zu machen, das Forum
> zeigte sich gänzlich unbeeindruckt )
>
> Beh.: 1 ist obere Schranke von M.
> Bew.: Ann. [mm]\exists x\in\ M, x = \bruch{1}{n [sub] 0 [/sub]} - \bruch{1}{m [sub] 0 [/sub]^2}[/mm]
> mit [mm]x > 1[/mm]
> [mm]\bruch{1}{n [sub] 0 [/sub]} - \bruch{1}{m [sub] 0 [/sub]^2} > 1 \gdw m [sub] 0 [/sub]^2 - n [sub] 0 [/sub]\qquad <\qquad n [sub] 0 [/sub]*m [sub] 0 [/sub]^2[/mm]
>
> [i](wieso wird hier das [mm]>[/mm] zu einem [mm]< [/mm]?
Schreibfehler. In der nächsten Zeile
[mm]m [sub] 0 [/sub]^2 > n [sub] 0 [/sub]*m [sub] 0 [/sub]^2 + n [sub] 0 [/sub] [/mm]
ist hier ja einfach [mm] $n_0$ [/mm] addiert worden, und das > ist wieder richtigrum.
> [mm]m [sub] 0 [/sub]^2 > n [sub] 0 [/sub]*m [sub] 0 [/sub]^2 + n [sub] 0 [/sub] = n [sub] 0 [/sub]*(m [sub] 0 [/sub]^2 + 1) \ge\qquad m [sub] 0 [/sub]^2 + 1 < m [sub] 0 [/sub]^2\qquad Widerspruch[/mm]
> Dass hier gilt [mm]n [sub] 0 [/sub]*(m [sub] 0 [/sub]^2 + 1) \ge m [sub] 0 [/sub]^2 + 1[/mm]
> ist ja klar, aber warum kann ich dann einfach mal
> behaupten, dass das zu meinem Widerspruch führt?
Weil Du eine Ungleichungskette hast, und das ganz rechte [mm] $m_0^2+1$ [/mm] immer noch kleiner sein muß als das [mm] $m_0^2$ [/mm] ganz links. Deswegen ist diese Ungleichung hinten nochmal hingeschrieben. Und die ist Quatsch. =)
[mm] $m_0^2>n_0m_0^2+n_0^2$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow m_0^2 [/mm] > [mm] n_0(m_0^2+1)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow m_0^2 [/mm] > [mm] (m_0^2+1)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 0 > 1$
> . Also ist 1 eine obere Schranke für M.
EDIT: Die eine Schlußfolgerung funktioniert natürlich nur in eine Richtung. Sorry. =)
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