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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Homöomorphismus
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Homöomorphismus: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:15 Di 29.11.2011
Autor: chesn

Aufgabe
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
Jede stetige, bijektive Abbildung zwischen metrischen Räumen ist ein Homöomorphismus.

Hallo!

Eigentlich entspricht ja alles der Definition eines Homöomorphismus, bis auf dass noch zu zeigen ist, dass [mm] f^{-1} [/mm] auch stetig ist, oder?

Sei nun f: X [mm] \to [/mm] Y, x [mm] \mapsto [/mm] y und [mm] f^{-1}: [/mm] Y [mm] \to [/mm] X, y [mm] \mapsto [/mm] x
Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig und es ist:

[mm] f\circ f^{-1}=f(f^{-1}(y))=f(x) [/mm] und die Verkettung ist damit stetig, also ist auch [mm] f^{-1} [/mm] stetig.

Wars das schon oder habe ich noch etwas übersehen?!

Danke schonmal!

        
Bezug
Homöomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Di 29.11.2011
Autor: fred97


> Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
>  Jede stetige, bijektive Abbildung zwischen metrischen
> Räumen ist ein Homöomorphismus.
>  Hallo!
>  
> Eigentlich entspricht ja alles der Definition eines
> Homöomorphismus, bis auf dass noch zu zeigen ist, dass
> [mm]f^{-1}[/mm] auch stetig ist, oder?
>  
> Sei nun f: X [mm]\to[/mm] Y, x [mm]\mapsto[/mm] y und [mm]f^{-1}:[/mm] Y [mm]\to[/mm] X, y
> [mm]\mapsto[/mm] x
>  Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig und es ist:
>  
> [mm]f\circ f^{-1}=f(f^{-1}(y))=f(x)[/mm]

Das ist aber schlampig !

> und die Verkettung ist
> damit stetig, also ist auch [mm]f^{-1}[/mm] stetig.

Wie Du darauf kommst ist mir ein Rätsel.


Tipp: die Aussage ist falsch. Suche also ein Gegenbeispiel.

FRED

>  
> Wars das schon oder habe ich noch etwas übersehen?!
>  
> Danke schonmal!


Bezug
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