Hermitische Polynome < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Di 24.04.2007 | | Autor: | der_emu |
| Aufgabe | Sei [mm] f(x)=e^{-x^2}.
[/mm]
a) Zeige f^(n) ist von der gestalt [mm] H_n (x)e^{-x^2}
[/mm]
b) Zeige: H_(n+1)+2xH_(n)+2nH_(n-1)=0
c)H_(n)''-2xH_(n)'+2nH_(n)=0 |
Hallo,
bei der aufgabe sind die hermitischen polynome ein wenig anders definiert als gewöhnlich. Das [mm] (-1)^n [/mm] fehlt...
meine Frage zu b)
habe mal folgenden Ansatz:
[mm] f^{n+1}=(H_(n)e^{-x^2})'=(H_(n)'+2xH_(n))e^{-x^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] H_(n+1)=H_(n)'-2xH_(n)
[mm] \Rightarrow [/mm] H_(n+1)+2xH_(n)-H_(n)'=0
Jetzt muss ich zeigen, dass H_(n)'=2nH_(n-1)
Gibts da einen Trick, dass man das mit "einfachen" mitteln machen kann. Es ginge ja über eine taylorreihe und mit partieller differntation. da wir das allerdings beides in der vorlesung nicht gemacht haben sollte es noch einen anderen weg geben..
Vielen Dank!
MfG,
Emu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Do 26.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Du sollst zeigen (=Vorzeichen korrektur)
[mm] H'_{n+1}=-2nH_{n} [/mm] (1)
du hast bereits hergeleitet
[mm] H_{n+1}=H_{n}'-2xH_{n}
[/mm]
daraus folgt durch Ableitung:
[mm] H'_{n+1}=H_{n}''-2H_{n}-2xH'_{n}
[/mm]
für alle n daher auch für n+1 oder aber
[mm]H_{n+1}''- 2xH'_{n+1} = H'_{n+2} + 2H_{n+1} [/mm] für alle n (2)
Die Beziehung (1) kannst du nun mit vollst. Induktion beweisen
N=1 überlasse ich dir
Es gelte (1) dann gilt
[mm] H'_{n+1}*e^{-x^2}=-2nH_{n}e^{-x^2}
[/mm]
ableiten bringt:
[mm] H''_{n+1}*e^{-x^2}-2xH'_{n+1}*e^{-x^2}=-2nH_{n+1}e^{-x^2}
[/mm]
[mm] H''_{n+1}-2xH'_{n+1}=-2nH_{n+1}
[/mm]
darin (2) eingesetzt
[mm]H'_{n+2} + 2H_{n+1}=-2nH_{n+1}[/mm]
oder aber
[mm] H'_{n+2}=-2(n+1)H_{n+1} [/mm] qed
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